การผูกพหุนามด้วยผลรวมที่มีคุณสมบัติบางอย่าง

Question

กำหนด $f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ โดย $f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$.

คำถาม:มีฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$, น่าพอใจ

1. $g(x,y)=0$ ถ้าและต่อเมื่อ $xy=1$.
2. $h(x,y)=0$ ถ้าและต่อเมื่อ $x=y$.
3. $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$.

ความคิดเห็น:แรงจูงใจมาจากกรณีดังกล่าว$x,y$ ตีความเป็นค่าเอกพจน์ของ a $2 \times 2$เมทริกซ์ แล้ว$f(x,y)$ คือระยะห่างของเมทริกซ์จาก $\operatorname{SO}(2)$. $g$ และ $h$ ถูกตีความว่าเป็นมาตรการสำหรับการเบี่ยงเบนของเมทริกซ์จากการรักษาพื้นที่และรูปแบบตามลำดับ

Answer 1

ปล่อย $z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$. แล้ว$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$.

ตอนนี้ตั้งค่า $G(z) = z^2 - 2i$. แล้ว$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$.

คำนวณ $\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$ และด้วยเหตุนี้ $$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$ ถ้าและต่อเมื่อ $\Re z + \Im z \ge 0$ซึ่งเป็นความจริงอย่างแน่นอนถ้า $x \ge 0, \, y \ge 0$.

ดังนั้นตอนนี้คุณมีสำหรับ $x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$ และคุณสามารถอ่าน $g$ และ $h$.