การประเมินการ $\left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $
ฉันจะหาค่าของนิพจน์ต่อไปนี้ได้อย่างไร $$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $$
ฉันลองเขียนตัวเศษเป็น $\tan 40^\circ - \tan80^\circ -\tan20^\circ,$ แต่แล้วการแสดงออกก็ซับซ้อนขึ้น
คำตอบ
ก่อนอื่นเรามี (ดูกฎของ Morrie )$$ \tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ=\sqrt{3}. $$ ตัวเศษคือการตั้งค่า $x=20^\circ,$ \begin{align} &\tan40^\circ+\tan100^\circ+\tan160^\circ=\\ &\qquad\qquad=\tan(60^\circ-x)+\tan(120^\circ-x)+\tan(180^\circ-x)=\\ &\qquad\qquad= \frac{\tan 60^\circ-\tan x}{1+\tan 60^\circ\tan x}+ \frac{\tan120^\circ-\tan x}{1+\tan120^\circ\tan x}+ \frac{\tan180^\circ-\tan x}{1+\tan180^\circ\tan x}=\\ &\qquad\qquad= \frac{ \sqrt{3}-\tan x}{1+\sqrt{3}\tan x}+ \frac{-\sqrt{3}-\tan x}{1-\sqrt{3}\tan x}- \tan x=\\ &\qquad\qquad= \frac{\sqrt{3}\cos x-\sin x}{\cos x+\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{\cos x-\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sin x}{\cos x}=\\ &\qquad\qquad= -3\cdot\frac{3\sin x\cos^2 x-\sin^3 x}{\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x}=\\ &\qquad\qquad=-3\cdot\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}=-3\tan60^\circ=-3\sqrt{3} \end{align}
ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายคือ $$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right|=\left|\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right|=3 $$
@enzotib ตอบคำถามของคุณได้อย่างแม่นยำแล้วในขณะที่ฉันพัฒนาความบ้าคลั่งอย่างรุนแรงเพื่อพยายามแก้ปัญหานี้ อย่างไรก็ตามฉันต้องการแสดงวิธีการของฉันซึ่งอิงจากการหาค่าประมาณที่ดีที่สุดของนิพจน์นี้ (จำไว้ว่านี่เป็นไปตามการประมาณดังนั้นเราจะไม่ได้ค่าที่สมบูรณ์แบบ) แนวคิดคือการทำให้การคำนวณง่ายขึ้นเพื่อให้คุณสามารถหาค่าของนิพจน์นี้ได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
เริ่มต้นด้วยตัวเศษ:
$tan40+tan100+tan160 = tan40-tan80-tan20$ เนื่องจาก 100-80 และ 160-20 เป็นมุมที่สัมพันธ์กัน
ฉันจะปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนเดิม
ตอนนี้เราต้องหาแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ ลองใช้การประมาณมุมเล็ก ๆ ตามที่$tanx = x$สำหรับมุมเล็ก ๆ ที่วัดเป็นเรเดียน (แน่นอนว่ายิ่งมุมเล็กเท่าไหร่ค่าประมาณก็ยิ่งดีเท่านั้น) ตอนนี้ฉันจะใช้การประมาณนี้เพื่อหาค่าของ tan20 ° แต่ก่อนอื่นฉันต้องแปลง 20 °เป็นเรเดียน
20 คือ $\frac{180}{9}$ และ $180$ คือ $\pi$ เรเดียนดังนั้น $20° = \frac{\pi}{9} \approx tan20°$ เนื่องจากการประมาณมุมเล็ก ๆ
เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ยาวและยากจะดีกว่าถ้าเราพยายามหาค่า $\frac{\pi}{9}$.
$\pi \approx 3$,ดังนั้น $\frac{\pi}{9} \approx \frac{3}{9} \approx \frac{1}{3} \approx 0.33$.
โปรดทราบว่าเราเริ่มต้นด้วยค่าที่ปัดเศษลงดังนั้นในครั้งต่อไปที่เราต้องการการประมาณหากสถานการณ์เอื้ออำนวยเราควรใช้ค่าที่ปัดเศษขึ้น
ตอนนี้เรามาหา tan40 °ด้วยสูตร double angle:
$tan2x= \frac{2tanx}{1-tan^2x}$
$tan40=\frac{2tan20}{1-tan^220} = \frac{2*0.33}{1-(0,33)^2} = \frac{0.66}{1-0.1} = \frac{0,66}{0,9} \approx \frac{0,7}{0.9} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9} = 0,77 \approx 0,8$
ตอนนี้เราปัดเศษขึ้นสองครั้งเมื่อประมาณเศษส่วนและเมื่อประมาณค่าสุดท้ายดังนั้นในครั้งต่อไปเราจะปัดเศษลงถ้าเป็นไปได้
ตอนนี้ฉันจะใช้สูตรมุมคู่อีกครั้งเพื่อหา $tan80$
$tan80 = \frac{2tan40}{1-tan^240} = \frac{2*0.8}{1-(0.8)^2} = \frac{1.6}{1-0.64} = \frac{1.6}{0,36} \approx \frac{1,6}{0,4} = 4 $
เราประมาณ 0.36 เป็น 0.4 ดังนั้นเราจึงปัดเศษลงเล็กน้อยเพราะตัวส่วนใหญ่ขึ้น
ตอนนี้เราสามารถหาค่าสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมได้แล้ว:
เศษ:
$tan40-tan80-tan20 = 0,8-4-0,33=-4,33+0,8=-3,53 $
ตัวหาร:
$tan20tan40tan80 = 0,8*4*0,33 = 3,2*0,33 \approx 3,2*0,3 = 3,2*\frac{3}{10} = \frac{9,6}{10} = 0,96 $
ตอนนี้ขอสรุปเศษส่วน:
$\frac{3,53}{0,96}$
เราอยู่ในสถานการณ์นี้: เราเริ่มต้นด้วยการปัดเศษลงเล็กน้อยสำหรับ tan20 °จากนั้นเราปัดเศษขึ้น tan40 °สองครั้ง (ปัดเศษขึ้น) จากนั้นปัดน้ำตาลลง 80 °เล็กน้อย ตัวเศษคือ -tan20 ° + tan40 ° -tan80 °ซึ่งหมายความว่า + tan40 °ควรเป็นค่าส่วนเกินเนื่องจาก tan40 °ถูกประมาณโดยเกินสองครั้งในขณะที่ tan80 °ถูกประมาณโดยข้อบกพร่องเล็กน้อยจากนั้นฉันเพิ่ม tan20 °ซึ่งเป็นค่า ประมาณโดยข้อบกพร่องดังนั้นตัวเศษควรเป็นค่าที่สูงเกินไป
ทีนี้มาวิเคราะห์ตัวส่วนกัน 0.8 เป็นค่าส่วนเกิน (tan40 °) ในขณะที่ 4 เป็นค่าที่ต่ำกว่าค่าจริงเล็กน้อยดังนั้น 4 * 0,8 จึงสูงเกินไปเล็กน้อย แต่ฉันคูณด้วยน้อยกว่าศูนย์เล็กน้อย ค่าที่ต่ำกว่าดังนั้นเราควรจะต่ำกว่าเล็กน้อย + ค่าสุดท้ายถูกปัดลงดังนั้นฉันควรมีส่วนเกินเพียงเล็กน้อยเท่านั้น
ตัวนับ: ตัวหารส่วนเกินระดับกลาง - สูง: สมดุลส่วนเกินต่ำมาก
โดยรวม: ส่วนเกินระดับกลาง - สูง
ส่วนเกินที่ต่ำในตัวส่วนหมายความว่าเศษส่วนมีค่าประมาณเล็กน้อยจากข้อบกพร่อง แต่ตอนนี้เราต้องบวกส่วนเกินกลาง - สูงในตัวเศษดังนั้นเศษส่วนโดยรวมจึงมีค่าสูงกว่าปกติดังนั้นถ้าเป็นไปได้เรา จะพยายามปัดเศษลง
(ฉันลบเครื่องหมาย - ในเศษส่วนสุดท้ายเนื่องจากนิพจน์มีค่าสัมบูรณ์)
คำตอบสุดท้ายโดยคำนึงถึงการประมาณทั้งหมดเหล่านี้ควรเป็น:
$\frac{3,53}{0,96} \approx \frac{3,5}{1} \approx 3,5 $
ฉันประมาณในลักษณะที่ตัวเศษต่ำกว่าเล็กน้อยและตัวเศษใหญ่ขึ้นเล็กน้อยเพื่อพยายามชดเชยการปัดเศษที่มากเกินไปของฉัน
อย่างที่คุณเห็นว่าค่ามันลดลงเล็กน้อยเพราะมันควรจะเป็น 3 นั่นอาจเป็นเพราะการปัดเศษที่ก้าวร้าวของฉันเมื่อจัดการกับ tan40 °
ใช่นี่ไม่ใช่คำตอบที่แม่นยำนี่เป็นเพียงความพยายามของฉันในการประมาณค่าของนิพจน์นี้แน่นอนว่าคำตอบที่แม่นยำที่โพสต์โดย @enzotib นั้นดีกว่ามาก
สังเกตว่าแต่ละ $\newcommand{\degree}{{\lower{.5pt}\Large\circ}}x\in\left\{20^\degree,-40^\degree,80^\degree\right\}$ พอใจ $$ \begin{align} \sqrt3 &=\tan(3x)\\ &=\frac{3\tan(x)-\tan^3(x)}{1-3\tan^2(x)}\tag1 \end{align} $$ ด้วยประการฉะนี้ $$ \tan^3(x)-3\sqrt3\tan^2(x)-3\tan(x)+\sqrt3=0\tag2 $$ Vietaกล่าวว่าผลรวมของรากเป็นลบของสัมประสิทธิ์ของ$\tan^2(x)$. นั่นคือ,$$ \tan\left(20^\degree\right)-\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(80^\degree\right)=3\sqrt3\tag3 $$และผลคูณของรากเป็นลบของระยะคงที่ นั่นคือ,$$ -\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)=-\sqrt3\tag4 $$ ดังนั้น, $$ \begin{align} \frac{\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(100^\degree\right)+\tan\left(160^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)} &=\frac{\tan\left(40^\degree\right)-\tan\left(80^\degree\right)-\tan\left(20^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)}\\[6pt] &=-3\tag5 \end{align} $$ เอาค่าสัมบูรณ์ของ $(5)$.