การประเมินขีด จำกัด ของลำดับความน่าจะเป็น

Question

ปล่อย $X_1, X_2, \ldots$ เป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม iid ที่มีการแจกแจงอยู่ที่ $[1,\infty)$และช่วงเวลาที่สองที่แน่นอน เราสันนิษฐานว่า$a=E\ln X_1$, $\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$.

วิธีประเมินขีด จำกัด ของลำดับความน่าจะเป็น $$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$ฉันไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นอย่างไร ฉันเดาว่ามันอาจเกี่ยวข้องกับ Central Limit Theorem แต่ฉันไม่แน่ใจ

Answer 1

การลอการิทึมและการปล่อย $Y_{i} = \ln(X_{i})$:

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

คำแรกมาบรรจบกันในการแจกแจงเป็น $N(0, \sigma^{2})$ ตามทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางและเทอมที่สองมาบรรจบกันด้วยความน่าจะเป็น $-2a$ ด้วยกฎหมายที่อ่อนแอของจำนวนมากดังนั้น $A_n$ มาบรรจบกันในการกระจายเป็น $N(-2a, \sigma^{2})$.

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

ที่ไหน $\Phi$ คือ cdf ปกติมาตรฐาน