การประเมินขีด จำกัด ของผลหารของผลรวมสองจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุด

Question

ฉันจะประเมินขีด จำกัด นี้ได้อย่างไร?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

โดย WolframAlpha ขีด จำกัด ต้องเป็น 2 แต่ฉันจะแสดงสิ่งนี้ได้อย่างไร ฉันเห็นว่ามันซ้ำซากจำเจเพิ่มขึ้นดังนั้นเมื่อฉันสามารถแสดง$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$ก็จะเสร็จ แต่ติดนิดหน่อย ...

Answer 1

โปรดทราบว่าตัวส่วนสามารถเขียนใหม่เป็น $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ มันจะกลายเป็นเรื่องง่ายหลังจากนี้: หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. สิ่งนี้ทำให้คุณมีขีด จำกัด$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

Answer 2

กฎของ L'Hopital มีเวอร์ชันที่ไม่ต่อเนื่องภายใต้เงื่อนไขบางประการ ก็มักจะเป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบทสโตลซ์-Cesaro ที่นี่เราถือว่าการสรุปรวมเป็นการรวม (และในทางกลับกันการเอาความแตกต่างมาเป็นการสร้างความแตกต่าง) คำสั่งมักจะเป็นดังนี้: ถ้าลำดับ$\{ b_n \}$ เป็นบวกและ $\sum b_n = \infty$ (เช่นแตกต่างกัน) จากนั้นสำหรับลำดับใด ๆ $\{ a_n \}$ ของจริงเช่นนั้น $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, เรามี

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมของสิ่งนี้คือการทดสอบเปรียบเทียบขีด จำกัด

สำหรับตัวอย่างที่กำหนดให้ใช้ $a_n = 1/n$ และ $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ ที่จะได้รับ $2$ เป็นขีด จำกัด

Answer 3

คำอธิบายที่เข้าใจง่าย:

อัตราส่วนคือ

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ และเพื่อการเติบโต $k$, ระยะ $\frac12$มีความสำคัญน้อยลงเรื่อย ๆ ในเวลาเดียวกันทั้งสองชุดจะแตกต่างกันเพื่อให้คำศัพท์เริ่มต้นไม่สำคัญ

---

โดยอาร์กิวเมนต์ที่จริงจังมากขึ้นคุณสามารถยึดผลรวมโดยการรวมและรับขอบเขตของแบบฟอร์ม $\log n+c$. แล้วโดยการบีบ

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

Answer 4

เรามีการเปรียบเทียบระยะตามระยะ $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ ในทำนองเดียวกัน $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ ด้วยประการฉะนี้ $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ และดังนั้นจึง, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทการบีบ