การประเมินความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม
ปล่อย $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ เป็นเวกเตอร์ที่รวมกันและเป็นอิสระเชิงเส้นและ $X_1,...,X_n$ ตัวแปรสุ่มอิสระ (บนพื้นที่ความน่าจะเป็นเฉพาะ) เช่นทุก ๆ $X_i$ มีการแจกแจงพารามิเตอร์ Bernoulli $p_i \in [0,1]$.
ก) $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$คำนวณความคาดหวังของ $Z$, ที่ไหน $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ ด้วย $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.
b) ให้ V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$แสดงว่าสำหรับใด ๆ $v \in V$ มีอยู่ $y \in V$ ดังนั้น $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ และ $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$กับ $b_i \in \{0,1\}$. คำแนะนำ: การใช้ a)
ฉันพบแบบฝึกหัดนี้ทางออนไลน์และฉันมีปัญหาในการแก้ไขจุด b) ฉันได้เลือกจุดก) แล้ว$( \mathbb{R}^n, B, P)$ เป็นช่องว่างความน่าจะเป็นโดยที่ B คือ Borel $\sigma $- พีชคณิตและ P เท่ากับหน่วยวัดผลของ $X_i$การแจกแจง ฉันพบว่าความคาดหวังของ Z คือ\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}
ฉันต้องการทราบว่าการแก้ปัญหาจุดก) ของฉันถูกต้องหรือไม่และได้รับคำแนะนำสำหรับจุด b)
ขอขอบคุณ
คำตอบ
ฉันเดาว่าจุด b เป็นประเด็นหลักของการออกกำลังกายและสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
ก)) $y=\sum x_i v_i$, ที่ไหน $x_i=1$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_i$ และ $x_i=0$ ด้วยความน่าจะเป็น $1- p_i$อิสระ
แล้ว
$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$
ดังนั้น $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$
b)) การเลือก $p_i=a_i$ แต่ละ $i$เราได้รับสิ่งนั้น $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ ซึ่งหมายถึงจุด b