การประยุกต์ใช้การเปลี่ยนแปลงของทฤษฎีบทตัวแปรบน n-ball

Question

ให้ f:$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและ $z \in \mathbb{R}^n$. แสดงว่า$$ \int_Bf(\langle x,z \rangle)=\int_Bf(x_n|z|) $$ ที่ไหน $x=(x_1,...,x_n)$ และ $B=\{x\in \mathbb{R}^n ; |x| \leq 1\}$.

ความคิดของฉันคือการใช้การเปลี่ยนแปลงของทฤษฎีบทตัวแปร ฉันพยายามค้นหาการเปลี่ยนรูปมุมฉาก$h(x)=Qx$ ดังนั้น $|detDh|=|detQ|=|\pm1|=1$. แต่ฉันไม่พบการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ฉันจะขอบคุณเคล็ดลับในการค้นหาการเปลี่ยนแปลงนี้หรือแนวคิดใหม่ในการแก้ปัญหานี้

Answer 1

โปรดทราบว่าถ้า $z=0$ถ้าอย่างนั้นความเท่าเทียมกันนั้นน่าพอใจเล็กน้อยดังนั้นสมมติว่า $z\neq 0$. วิธีหนึ่งในการระบุการแปลงมุมฉาก (หรือจริง ๆ แล้วการแปลงเชิงเส้นใด ๆ ) คือการระบุสิ่งที่ทำกับพื้นฐาน

ตั้งแต่ $z\neq 0$, ส่วนเติมเต็มมุมฉาก $\{z\}^{\perp} = \ker(\langle z, \cdot\rangle)$ เป็น $n-1$ พื้นที่ย่อยมิติของ $\Bbb{R}^n$. ตอนนี้เลือกพื้นฐานปกติ$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}\}$ สำหรับพื้นที่ย่อยนี้และกำหนด $\zeta := \frac{z}{\lVert z \rVert}$. จากนั้น$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}, \zeta\}$ เป็นพื้นฐานปกติสำหรับ $\Bbb{R}^n$. กำหนด$h:\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$เพื่อเป็นการแปลงเชิงเส้นเช่นนั้น\ begin {align} \ begin {cases} h (\ xi_i) & = e_i \ quad \ text {สำหรับ$i\in \{1,\dots, n-1\}$} \\ h (\ zeta) & = e_n \ end {cases} \ end {align}ที่ไหน$\{e_1, \dots, e_n\}$ เป็นมาตรฐานตามลำดับหรือปกติตามปกติของ $\Bbb{R}^n$. ตอนนี้ตั้งแต่$h$ คือการแปลงเชิงเส้นซึ่งจะแมปพื้นฐานออร์โธนิกโดยทางชีวภาพกับพื้นฐานออร์โธนิกตามนั้น $h$ รักษาผลิตภัณฑ์ภายในกล่าวคือเป็นการแปลงเชิงเส้นตรงมุมฉาก (ซึ่งหมายถึงโดยอัตโนมัติ $|\det h| = 1$).

การเปลี่ยนแปลงนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ $h(z) = h(\lVert z \rVert \zeta) = \lVert z\rVert h(\zeta) = \lVert z\rVert e_n$; นั่นคือแผนที่$z$ เป็นบวก $n^{th}$ แกน.