การรวมถูกกำหนดไว้อย่างดีเกี่ยวกับพหุนามในวงกลมหรือไม่?

Question

ฉันต้องการดูว่ามีแผนที่กำหนดไว้อย่างดีหรือไม่ $$\int_0^\theta\text{d}\theta:\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}\rightarrow\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}.$$ฉันกำลังเริ่มศึกษาเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและฉันพบว่ามันทำให้งง นี้จะเกี่ยวข้องกับการโพสต์อีกพิกัดขั้วโลกสำหรับหลายชื่อบนวงกลม

ฉันได้ลองหาพิกัดเชิงขั้ว แต่ไม่มีนิพจน์ง่ายๆสำหรับอินทิกรัลของฟอร์ม $$\int_0^\theta \text{d}\theta\,\cos(\theta)^n\sin(\theta)^m.$$ ในทางกลับกันในพิกัดที่ซับซ้อนจะมี $$\int_\mathcal{C}\text{d}z\,z^n\bar{z}^m=\begin{cases}i r^{n+m}\theta, & 1+n-m=0\\ \frac{z^{n+1/2}\bar{z}^{m-1/2}-(z\bar{z})^{(n+m)/2}}{1+n+m},&\text{otherwise.}\end{cases}$$ ในนี้ $\mathcal{C}$ คือส่วนโค้งในวงกลมของรัศมี $r$ ระหว่าง $0$ และ $\theta$. ดังนั้นใน$\mathbb{C}[z,\bar{z}]$สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่ได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่นในกรณี$1+n-m=0$ มันไม่ได้ให้ฟังก์ชัน

Answer 1

อย่างน้อยมันก็ทำให้เกิดตัวดำเนินการที่กำหนดไว้อย่างดีกับพหุนามบางตัว ที่สำคัญคือฉันคำนวณพิกัดเชิงขั้วผิด การคำนวณที่เกี่ยวข้องคือ$$\int_0^\theta\text{d}\theta\,z^n\bar{z}^m=\frac{z^n\bar{z}^m}{i(n-m)}\in\mathbb{C}[z,\bar{z}],$$ ตราบเท่าที $n\neq m$. เนื่องจากการหาส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นเชิงเส้นและพหุนามจริงทุกตัวสามารถหาได้โดยการหาส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนสิ่งนี้จึงพิสูจน์สิ่งที่เราต้องการ ปัญหาของ$n\neq m$ ในการคำนวณข้างต้นได้รับการแก้ไขเนื่องจากในวงกลมพหุนาม $z^n\bar{z}^n$ อยู่ในระดับความเทียบเท่าเดียวกันกับ $1$.