การแสดงพื้นที่เวกเตอร์ที่เป็นบรรทัดฐานคือผลรวมโดยตรงของพื้นที่ย่อยปิดและสเปซย่อยหนึ่งมิติ
ด้านล่างนี้คือแบบฝึกหัดที่ 7 จาก chaper IV Banach space ในการวิเคราะห์จริงและการทำงานของ Lang:
ปล่อย $F$ เป็นส่วนย่อยปิดของพื้นที่เวกเตอร์ที่เป็นบรรทัดฐาน $E$และปล่อยให้ $v\in E, v\notin F$. แสดงว่า$F+ \Bbb{R}v$ถูกปิด. ถ้า$E=F+ \Bbb{R}v$แสดงว่า $E$ คือผลรวมโดยตรงของ $F$ และ $\Bbb Rv$ (หมายถึงแผนที่ $\phi(f,rv)= f+rv$ เป็นไอโซมอร์ฟิสซึมที่โดดเด่นจาก $F\times \Bbb Rv$ ถึง $E$เช่น homeomorphism และ isomorphism)
ฉันสามารถพิสูจน์ได้ $F+ \Bbb{R}v$ ถูกปิดโดยดูที่ช่องว่างผลหาร $E/F$. เป็นภาพของ$F+ \Bbb{R}v$ ภายใต้แผนผังผลหาร $\rho$ เป็น homeomorphic เพื่อ $\Bbb R$มันจะปิดโดยอัตโนมัติใน $E/F$ซึ่งมีภาพผกผันปิดใน $E$ โดยความต่อเนื่องของ $\rho$. แต่$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$จึงพิสูจน์ความใกล้ชิดของ $F+ \Bbb{R}v$. แต่ฉันติดอยู่ที่การแสดงข้อความหลัง มันพอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่า$\phi$ เป็นแผนที่เปิดซึ่งมีการแสดง $U_1+U_2$ เปิดอยู่ถ้า $U_1$ และ $U_2$ เป็นส่วนย่อยที่เปิดอยู่ของ $F$ และ $\Bbb Rv$ตามลำดับ หรั่งกล่าวว่านี่เป็นผลลัพธ์ที่ง่ายของทฤษฎีบทการทำแผนที่แบบเปิดซึ่งเป็นผลลัพธ์ทั่วไปมากกว่า อย่างไรก็ตามนั่นไม่ถือว่าสมบูรณ์ของ$E$เหรอ? ฉันพยายามใช้เทคนิคพื้นที่ผลหาร แต่ดูเหมือนจะใช้ไม่ได้กับที่นี่$U_1+U_2$ไม่จำเป็นต้องอิ่มตัว ฉันควรดำเนินการอย่างไร? ขอบคุณล่วงหน้า.
คำตอบ
ปล่อย $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ ถูกกำหนดโดย $\phi(f,rv):=f+rv$.
มันต่อเนื่องกันเนื่องจากเป็นองค์ประกอบของการบวกและการคูณสเกลาร์ เป็นเส้นตรงชัดเจน มันเป็นไปตามสมมติฐานและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$
ดังนั้น $\phi$ กลับไม่ได้และสิ่งที่ต้องแสดงคือ $f+rv\mapsto(f,rv)$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง
ตามทฤษฎีบท Hahn-Banach ตั้งแต่ $F$ ถูกปิดมีการทำงานอย่างต่อเนื่อง $\psi$ ของบรรทัดฐานของหน่วยเช่นนั้น $\psi F=0$ แต่ $\psi(v)=t\ne0$. ปล่อย$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. แล้ว$\pi$ เป็นการฉายภาพต่อเนื่องพร้อมภาพ $\mathbb{R}v$ และเคอร์เนล $F$, นั่นคือ \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} ก็เป็นไปตามนั้น $E=F\oplus\mathbb{R}v$.