การสร้าง isomorphism ระหว่างสองเขตข้อมูล จำกัด ของคำสั่ง 25.

Question

ฟิลด์ที่เป็นปัญหาคือ\ start {สมการ *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}) \ end {สมการ *}ฉันรู้ว่ามี isomorphism ระหว่างฟิลด์ด้านบนเนื่องจากเป็นฟิลด์ จำกัด ของลำดับเดียวกัน ความคิดของฉันคือการหาเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกลุ่มหน่วยของแต่ละเขตข้อมูลและสร้างไอโซมอร์ฟิซึมโดยการทำแผนที่เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเครื่องหนึ่งกับอีกเครื่องหนึ่ง

ฉันพบว่า $x+2$ สร้าง $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ และ $1+\sqrt{2}$ สร้าง $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ จากนั้นเรียกแผนที่ $\varphi$, ฉันส่ง $x+2$ ถึง $1+\sqrt{2}$ ซึ่งให้หลังจากจัดเรียงใหม่ $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ โดยที่ฉันยังใช้ว่า isomorphism ใด ๆ จะกำหนดสนามฐาน $\mathbb{F}_5$. ปัญหาอยู่ที่แผนที่\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} ไม่พอใจ $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ เพื่อทุกสิ่ง $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ นี่เป็นวิธีการทั่วไปที่ไม่ถูกต้องหรือไม่?

Answer 1

เราสังเกตเห็นว่า $\omega$รากที่สามดั้งเดิมของเอกภาพมีพหุนามขั้นต่ำ $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. เช่น$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ สิ่งนี้ให้ไอโซมอร์ฟิซึมต่อไปนี้ $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} อย่างไรก็ตาม $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ และ $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$ดังนั้น\ เริ่มต้น {สมการ *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ Cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}) \ end {สมการ *}