การสุ่มตัวอย่างอิสระของตัวแปรสุ่มตาม
ปล่อย $x_1, \ldots, x_n$จะเป็นไปได้ขึ้นอยู่กับตัวแปรสุ่มแต่ละค่าการซัก$x_i \in \{0, 1, 2\}$. สมมติเพิ่มเติมว่าในทุกผลลัพธ์จำนวนตัวแปรสุ่มที่เท่ากับ 2 เท่ากับ 1 ตอนนี้สำหรับแต่ละตัวแปร$i \in \{1, \ldots, n\}$ กำหนด $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ และสำหรับแต่ละคน $i \in \{1, \ldots, n\}$ ปล่อย $y_i$ เป็นตัวแปรสุ่ม Bernoulli ที่เป็น 1 อิสระพร้อมความน่าจะเป็น $f_i$ และ 0 มิฉะนั้น
การคาดเดาต่อไปนี้ถูกต้องหรือมีการกระจายอยู่ $x_i$กำลังหักล้างมัน?
การคาดเดา:มีการแก้ไข$\epsilon > 0$ (กล่าวคือ $\epsilon$ เป็นอิสระจาก $n$) เช่นนั้นด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย $\epsilon$มีดัชนีเดียว $i$ ที่ไหน $y_i = 1$.
คำถามที่เกี่ยวข้อง: ขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มตาม
คำตอบ
คำตอบคือ "ไม่" (ถ้าฉันเข้าใจคำถามถูกต้อง)
พิจารณาการกระจายร่วมแลกเปลี่ยนดังต่อไปนี้ของ $x_i$เอส. ในงาน$A$ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็น $1/\sqrt n$, ทั้งหมด $x_i$s คือ 1, ออกสำหรับ 1 2 ในเหตุการณ์เสริม $B$, ทั้งหมด $x_i$s คือ 0 exept สำหรับหนึ่ง 2
ภายใต้การกระจายนี้ $f_i$ เป็น 0 หรือ $1/\sqrt n$. ปล่อย$Y=\sum y_i$. ตั้งแต่$E[ Y|A]=\sqrt n$และ $E[Y|B]=1/\sqrt n$ในกรณีใดกรณีหนึ่งมันอยู่ห่างจาก 1 มากเกินไป ดังนั้นความเป็นไปได้ที่จะมีค่าบวกหนึ่งมากเกินไป$b_i$ กำลังจะหายไป