การสูญเสีย $\pm$ เมื่อสร้างความแตกต่าง $x^2+y^2=1$ โดยปริยาย

Aug 19 2020

เมื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ชัดเจน: $y=\pm \sqrt{1-x^2}$ มีสองสาขาและ $\pm$ ได้รับการอนุรักษ์โดยพิจารณาทั้งสองสาขา: $\frac{dy}{dx}=\pm \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

แต่ถ้าเราแยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยปริยายเราจะสูญเสียสาขาบวก: $$x^2+y^2=1$$ $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

ฉันจะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันนี้โดยปริยายได้อย่างไรโดยไม่สูญเสียไฟล์ $\pm$ เหรอ?

คำตอบ

8 BastienTourand Aug 19 2020 at 20:09

จากบรรทัดที่สองเราได้สิ่งนั้น $\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$... แล้วถ้า $y=\pm \sqrt{1-x^2}$คุณจะไม่สูญเสียอะไรเป็น

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{\pm \sqrt{1-x^2}}=\mp \frac{x}{ \sqrt{1-x^2}}$