การติดตามตัวดำเนินการในการหาปริมาณ Kontsevich
ในการหาปริมาณหนึ่งการศึกษาแผนที่จากฟังก์ชันบนพื้นที่เฟสไปยังตัวดำเนินการที่ทำหน้าที่บนพื้นที่ฮิลแบร์ต ลองแก้ไขแผนที่ดังกล่าวและเรียกมันว่า$Q$.
การหาค่าการเปลี่ยนรูปเป็นไปตามแนวคิดที่ว่า $Q$ สามารถศึกษาได้ทางอ้อมโดยการมอบพื้นที่เวกเตอร์เชิงเส้นของฟังก์ชันเหนือพื้นที่เฟสด้วยผลิตภัณฑ์ดาวที่ไม่สับเปลี่ยน:
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Kontsevich ให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับผลิตภัณฑ์ดาวที่สามารถใช้กับพื้นที่เฟสขนาดกะทัดรัดใด ๆ และให้พีชคณิตเชื่อมโยงที่มีพฤติกรรมที่ถูกต้องใน$\hbar \rightarrow 0$ขีด จำกัด ดังนั้นจึงมักอ้างว่าสูตร Kontsevich สามารถแก้ปัญหาที่มีมายาวนานในการพิสูจน์ว่าท่อร่วมซิมเพิลติกขนาดกะทัดรัดใด ๆ ยอมรับการหาปริมาณ
อย่างไรก็ตามส่วนประกอบที่สำคัญอื่น ๆ ของ Quantum Mechanics คือร่องรอยของตัวดำเนินการ ร่องรอยเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการทำนายทางกายภาพกล่าวคือค่าความคาดหวังของสิ่งที่สังเกตได้คือร่องรอยของตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้องคูณด้วยเมทริกซ์ความหนาแน่น
สูตร Kontsevich ไม่ได้ให้แผนที่การหาปริมาณ แต่เพียงผลิตภัณฑ์ดาว แล้วฉันจะคำนวณอย่างไร$\text{tr} Q(f)$ โดยรู้เท่านั้น $f$เหรอ?
คำตอบที่เป็นไปได้อย่างหนึ่งที่ฉันเห็นคือสูตรคลาสสิกมี: $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
ที่นี่ $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ คือรูปแบบปริมาตรที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบสัญลักษณ์ $\omega$และอินทิกรัลอยู่เหนือพื้นที่เฟส
แต่ฉันไม่เคยได้ยินใครพูดอย่างชัดเจนว่าอินทิกรัลเฟสนี้เป็นคู่ของการติดตามตัวดำเนินการในการหาค่าการเปลี่ยนรูปเชิงปริมาณและฉันไม่สามารถหาข้อโต้แย้งที่ดีเพื่อแสดงให้เห็นว่า $\mathcal{O}(\hbar)$ การแก้ไขไม่ปรากฏขึ้น
คำถามของฉันคือ:
- ทำ $\mathcal{O}(\hbar)$ การแก้ไขอินทิกรัลสเปซเฟสปรากฏโดยทั่วไป?
- ถ้าเป็นเช่นนั้นมีสูตรที่ชัดเจนสำหรับการติดตามหรือไม่?
- หากไม่เป็นเช่นนั้นฉันจะโน้มน้าวตัวเองได้อย่างไร
คำตอบ
Wikipediaกล่าวว่าคุณสมบัติต่อไปนี้เพื่อกำหนดการดำเนินการติดตามโดยไม่ซ้ำกัน (มากถึงสเกลาร์ทวีคูณ):
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
สำหรับเส้นตรงใด ๆ $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ จะตอบสนองคุณสมบัติทั้งสามประการ $\int f d\Omega $ตรงตามข้อ (1) และ (2) อย่างชัดเจน สำหรับ (3) เราต้องการแสดงสิ่งนั้น$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $. มันง่ายที่จะแสดงว่าไฟล์$O(1)$ และ $O(\hbar)$ เงื่อนไขหายไปเพื่อความดีเพียงพอ $f,g$(โดยใช้การรวมโดยส่วนต่างๆและความเท่ากันของส่วนผสม) อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจกราฟ Kontsevich ดีพอที่จะขยายอาร์กิวเมนต์นี้ไปยังคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นได้อย่างมั่นใจ$\hbar$. หากคุณสามารถหาข้อมูลอ้างอิงหรือคำอธิบายโปรดแจ้งให้เราทราบ สมมติว่าอาร์กิวเมนต์ขยายออกไปเราพบว่า$\mathrm{tr} Q(f)$ และ $\int f d\Omega $ เทียบเท่ากับผลคูณสเกลาร์
ค่าความคาดหวังกำหนดโดย $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$ดังนั้นเราจึงสามารถเลือกที่จะทำให้การติดตามของเราเป็นปกติได้ $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$นี่น่าจะเพียงพอที่จะกำหนดฟิสิกส์ทั้งหมดโดยไม่ซ้ำกัน คุณสามารถกำหนดในไฟล์$O(\hbar)$ คำศัพท์ในสูตรอินทิกรัลดั้งเดิม แต่เมื่อคุณทำให้เมทริกซ์ความหนาแน่นของคุณเป็นปกติมันจะไม่มีผลทางกายภาพ