การกระจายผู้โดยสาร 6 คนไปยังโรงแรม 3 แห่งมีกี่วิธี?
บุคคล 6 คนต้องการไปที่โรงแรมที่แตกต่างกัน 3 แห่งเพื่อให้แต่ละโรงแรมสามารถเลือกได้ตั้งแต่ 0 ถึง 6 คนในทุกรัฐเป็นไปได้ จากมุมของผู้โดยสารเรารู้ว่ามี$3^6=729$วิธีต่างๆในการทำงานนี้ แต่จากมุมมองของโรงแรมจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร?
เรารู้ว่าโรงแรม 1 ได้ 6 และโรงแรม 2,3 zero's ie $(6,0,0)$ หรือโรงแรม 1 5 และโรงแรม 2 1 และโรงแรม 3 ไม่มีอะไร $(5,1,0)$ หรือโรงแรม 1 3 โรงแรม 2 2 และโรงแรม 3 1 $(3,2,1)$หรืออื่น ๆ แต่วิธีการนับนี้ไม่ได้คำตอบที่ถูกต้อง ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือของ.
คำตอบ
เป็นอีกทางเลือกหนึ่งสำหรับคำตอบที่ดีของ Paco Adajar คุณสามารถวิเคราะห์กรณีโดยใช้ $7$กรณีดังต่อไปนี้ . .
ให้ผู้โดยสารระบุหมายเลขบัตรประชาชน $1,2,3,4,5,6$.
ปล่อย $a,b,c$ แสดงจำนวนผู้โดยสารที่ลงเอยในโรงแรม $A,B,C$ ตามลำดับ
ปล่อย $\text{sort}(a,b,c)$ แสดงถึงสาม $(a,b,c)$ จัดเรียงใหม่จากน้อยไปมาก
กรณี $(1)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,0,6)$.
สำหรับกรณีนี้มี $$\binom{3}{1}=3$$ วิธีตั้งแต่
- มี ${\large{\binom{3}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่ใช้ทั้งหมด $6$ ผู้โดยสาร.
กรณี $(2)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,1,5)$.
สำหรับกรณีนี้มี $$\binom{3}{1}\binom{6}{5}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}6{\,\cdot\,}2=36$$ วิธีตั้งแต่
- มี ${\large{\binom{6}{5}}}$ วิธีการเลือก $5$ ผู้โดยสารของโรงแรมนั้น$\\[4pt]$
- เมื่อเลือกตัวเลือกข้างต้นแล้วก็มี ${\large{\binom{2}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่ใช้เวลาส่วนที่เหลือ $1$ ผู้โดยสาร.
กรณี $(3)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,2,4)$.
สำหรับกรณีนี้มี $$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$ วิธีตั้งแต่
- มี ${\large{\binom{3}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่จะไป $4$ ผู้โดยสาร.$\\[4pt]$
- มี ${\large{\binom{6}{4}}}$ วิธีการเลือก $4$ ผู้โดยสารของโรงแรมนั้น$\\[4pt]$
- เมื่อเลือกตัวเลือกข้างต้นแล้วก็มี ${\large{\binom{2}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่ใช้เวลาส่วนที่เหลือ $2$ ผู้โดยสาร.
กรณี $(4)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,3,3)$.
สำหรับกรณีนี้มี $$\binom{3}{1}\binom{5}{2}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}10{\,\cdot\,}2=60$$ วิธีตั้งแต่
- มี ${\large{\binom{3}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่รองรับผู้โดยสาร #$1$ บวก $2$ ผู้โดยสารคนอื่น ๆ$\\[4pt]$
- มี ${\large{\binom{5}{2}}}$ วิธีการเลือก $2$ ผู้โดยสารคนอื่น ๆ สำหรับโรงแรมนั้น$\\[4pt]$
- เมื่อเลือกตัวเลือกข้างต้นแล้วก็มี ${\large{\binom{2}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่ใช้ $3$ ผู้โดยสารที่เหลือ
กรณี $(5)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,1,4)$.
สำหรับกรณีนี้มี $$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$ วิธีตั้งแต่
- มี ${\large{\binom{3}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่จะไป $4$ ผู้โดยสาร.$\\[4pt]$
- มี ${\large{\binom{6}{4}}}$ วิธีการเลือก $4$ ผู้โดยสารของโรงแรมนั้น$\\[4pt]$
- เมื่อเลือกตัวเลือกข้างต้นแล้วก็มี ${\large{\binom{2}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่รับผู้โดยสารโดยมีหมายเลขประจำตัวประชาชนน้อยที่สุด $2$ ผู้โดยสารที่เหลือ
กรณี $(6)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,2,3)$.
สำหรับกรณีนี้มี $$\binom{3}{1}\binom{6}{3}\binom{2}{1}\binom{3}{2}=3{\,\cdot\,}20{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=360$$ วิธีตั้งแต่
- มี ${\large{\binom{3}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่จะไป $3$ ผู้โดยสาร.$\\[4pt]$
- มี ${\large{\binom{6}{3}}}$ วิธีการเลือก $3$ ผู้โดยสารของโรงแรมนั้น$\\[4pt]$
- เมื่อเลือกตัวเลือกข้างต้นแล้วก็มี ${\large{\binom{2}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมอื่นที่จะใช้ $2$ ผู้โดยสาร.$\\[4pt]$
- มี ${\large{\binom{3}{2}}}$ วิธีการเลือก $2$ ผู้โดยสารของโรงแรมนั้น
กรณี $(7)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(2,2,2)$.
สำหรับกรณีนี้มี $$\binom{3}{1}\binom{5}{1}\binom{2}{1}\binom{3}{1}=3{\,\cdot\,}5{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=90$$ วิธีตั้งแต่
- มี ${\large{\binom{3}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่รองรับผู้โดยสาร #$1$ บวก $1$ ผู้โดยสารคนอื่น ๆ$\\[4pt]$
- มี ${\large{\binom{5}{1}}}$ วิธีการเลือก $1$ ผู้โดยสารคนอื่น ๆ ของโรงแรมนั้น$\\[4pt]$
- เมื่อเลือกตัวเลือกข้างต้นแล้วก็มี ${\large{\binom{2}{1}}}$ วิธีการเลือกโรงแรมที่รับผู้โดยสารโดยมีหมายเลขประจำตัวประชาชนเหลืออยู่น้อยที่สุด $4$ ผู้โดยสารบวก $1$ ผู้โดยสารคนอื่น ๆ$\\[4pt]$
- มี ${\large{\binom{3}{1}}}$ วิธีการเลือก $1$ ผู้โดยสารคนอื่น ๆ ของโรงแรมนั้น
การสรุปจำนวนสำหรับ $7$ กรณีให้จำนวนทั้งหมด $$ 3+36+90+60+90+360+90=729 $$ อย่างที่คาดไว้.
ให้โรงแรมทั้งสามเป็น A, B, C สมมติว่าโรงแรม A ได้รับ $m$ ผู้โดยสารด้วย $0 \le m \le 6$. มี$\binom{6}{m}$วิธีที่จะทำให้สิ่งนี้เกิดขึ้น แล้วโรงแรม B ต้องได้รับ$n$ ส่วนที่เหลือ $6 - m$ผู้โดยสาร. มี$\binom{6 - m}{n}$วิธีที่พวกเขาทำเช่นนี้ โดยค่าเริ่มต้นโรงแรม C จะได้รับส่วนที่เหลือ$6 - m - n$ ผู้โดยสาร.
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดสำหรับโรงแรมในการดำเนินการนี้จึงถูกกำหนดโดย $$ \begin{align*} \sum_{m=0}^6\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6}{m}\binom{6 - m}{n} &= \sum_{m=0}^6\binom{6}{m}\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6 - m}{n} \\ &= \sum_{m=0}^6 \binom{6}{m}2^{6 - m} = (1 + 2)^6 = 729 \end{align*} $$ ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้
จำนวนวิธีในการเลือก $a$ คนสำหรับโรงแรมแห่งแรก $b$ สำหรับโรงแรมแห่งที่สองและ $c$ สำหรับโรงแรมที่สามกับ $a+b+c=6$คือค่าสัมประสิทธิ์พหุนาม $$\binom{6}{a,b,c}= \frac{6!}{a! b! c!}$$ ดังนั้นจำนวนการเตรียมการทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ $$\sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$ โดยที่ผลรวมมีค่ามากกว่าจำนวนเต็มสามเท่า $(a,b,c)$ ด้วย $a+b+c = 6$ และ $a,b,c \ge 0$. เราสามารถหาวิธีนี้ได้ แต่มีทางลัด
โดยทฤษฎีบทพหุนาม $$(x+y+z)^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c} x^a y^b z^c$$ โดยที่ก่อนหน้านี้ผลรวมอยู่ที่สามเท่าของจำนวนเต็ม $(a,b,c)$ ด้วย $a+b+c = 6$ และ $a,b,c \ge 0$. ตอนนี้ให้$x=y=z=1$และเรามี $$3^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$ ซึ่งจำลองคำตอบก่อนหน้าของ $3^6 = 729$.