กฎลูกโซ่อนุพันธ์ของโควาเรียนที่สูงกว่า

Aug 16 2020

ปล่อย $(M,g)$เป็นสายพันธุ์ Riemannian ปล่อย$\nabla_v$ เป็นอนุพันธ์ของโควาเรียนในรูป $v$ ทิศทางสำหรับทุกคน $v\in T_xM$และแสดงด้วย $\nabla^k h$ ที่ $(k,0)$ฟิลด์ -tensor ที่กำหนดในพิกัดท้องถิ่นโดยอุปนัย $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ สำหรับฟังก์ชั่นที่ราบรื่น $h$.

คำถามของฉันคือมีวิธีที่ดีในการแสดงความแตกต่างหรือไม่ $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$เหรอ?

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนฉันกำลังพิจารณาสำนวนที่มอบให้โดย $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$มันดูคล้ายกับเทนเซอร์ความโค้งของ Riemannian ที่ใช้กับแบบฟอร์ม ฉันพยายามพัฒนาความแตกต่าง แต่ไม่เห็นสิ่งที่คุ้นเคย โดยทั่วไป (แต่บางทีฉันอาจจะถามมากเกินไป) มีวิธีที่ดีในการเขียนไหม$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$

คำตอบ

1 ArcticChar Aug 16 2020 at 21:48

เขียน $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, ที่ไหน $c^1_1$ คือการหดตัวแล้ว

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันมีความหมายสำหรับทุกคน $X, Y$และการใช้ข้อมูลประจำตัวของริชชี่ ,

\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}

ดังนั้น

$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$

ดังนั้นตามที่คาดไว้คำว่าโค้งจะออกมา นอกจากนี้เรายังมี$\nabla u$. โดยทั่วไปเมื่อคำนวณ$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ คุณต้องแยกความแตกต่าง $u$ $k$- เวลาและใช้ข้อมูลประจำตัวของ Ricci $k$- ครั้ง ฉันเดาว่าจะไม่มีสูตรที่ดี