เกี่ยวกับการแสดง algebras เช่นผลิตภัณฑ์เทนเซอร์เป็นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน

Question

ฉันกำลังจัดการกับคำถามนี้ในหลักสูตร An Introduction to Galois Theory:

Algebras ใดต่อไปนี้เป็นฟิลด์ ผลิตภัณฑ์ของทุ่ง? อธิบายฟิลด์เหล่านี้

1. $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
2. $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
3. $\mathbb{F}_2(\sqrt{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_2(T)} \mathbb{F}_2(\sqrt{T}) $
4. $\mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_4(T)} \mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) $

ชี้แจงคำถามที่ฉันอาจพูด:

$.\otimes_{A}.$ เป็นสัญกรณ์ที่ใช้สำหรับผลคูณ Tensor ของสองอัลเกบราสหรือโมดูลเหนือวงแหวน A

ผลิตภัณฑ์ Tensor ถูกกำหนดด้วยคุณสมบัติสากลในหลักสูตรของฉัน

$\mathbb{F}_2$ และ $\mathbb{F_4}$ แสดงว่า $\mathbb{Z}_2$ และ $\mathbb{Z}_4$ ตามลำดับ

ความคืบหน้าของฉัน:

ฉันรู้ว่าพีชคณิต จำกัด มีอุดมคติสูงสุดมากมาย

พูด $m_1,...,m_k$ เป็นอุดมคติสูงสุดของพีชคณิต จำกัด เอของเราจากนั้น $A \cong \frac{A}{m_1^{n_1}}\times ...\times \frac{A}{m_r^{n_r}}$ สำหรับบางคน $n_i\in\mathbb{N}$.

ดังนั้นถ้า $\space $$\ forall i \ space; n_i = 1 $ดังนั้น A คือผลคูณของเขตข้อมูล

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทที่เป็นประโยชน์บางอย่างที่ฉันอ้างถึงในเอกสารคำตอบของฉันซึ่งเชื่อมโยงกับการร้องในคำตอบสำหรับปัญหานี้

ฉันได้เขียนคำตอบโดยละเอียดทั้งหมดไว้ในเอกสารต่อไปนี้ แต่ฉันไม่ค่อยแน่ใจเกี่ยวกับพวกเขา (โดยเฉพาะเกี่ยวกับส่วนที่ 3 และ 4)

คลิกที่นี่เพื่อไปยังลิงก์เอกสารของ Google

หลังจากที่คุณเห็นคำตอบของฉันฉันต้องการเพิ่มสิ่งต่อไปนี้:

ในส่วนที่ 3 ฉันได้แสดงให้เห็นในคำตอบของฉันว่า:

$ \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _2 (T)} \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ Cong \ frac {\ mathbb { F} _2 (\ sqrt {T}) [U]} {(U- \ sqrt {T}) ^ 2} $โดยที่$ U $เป็นตัวแปร ดังนั้นนี้ไม่ได้เป็นสนามเพราะการปรากฏตัวขององค์ประกอบ nilpotent เช่น$ U- \ sqrt {T} $ แต่ฉันไม่สามารถแสดงให้เห็นว่ามันสามารถเป็นผลผลิตของเขตข้อมูลได้หรือไม่?

นอกจากนี้ในส่วนที่ 4 ฉันได้แสดงให้เห็นในคำตอบของฉันว่า:

$ \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _4 (T)} \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ Cong \ frac {\ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) [U]} {U ^ 3-T} $

แต่ตอนนี้ฉันติดขัดและไม่สามารถพูดได้อีกต่อไปเกี่ยวกับผลคูณของเขตข้อมูล

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่นำไปสู่ความก้าวหน้าจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

Answer 1

สำหรับ 3 อย่างที่คุณบอกว่าคุณมีองค์ประกอบที่สำคัญในผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นในผลคูณของเขตข้อมูล ถ้าเรามี$R=F_1\times\cdots\times F_n$ผลคูณของเขตข้อมูลและ $(a_1,\ldots,a_n)^2$ เป็นศูนย์ใน $R$ แล้ว $a_i^2=0$ ในแต่ละ $F_i$ ดังนั้น $a_i=0$ (เช่น $F_i$เป็นเขตข้อมูล) ในตัวอย่างนี้ผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ไม่ใช่ผลคูณของเขตข้อมูล

สำหรับส่วนขยายฟิลด์ $F_1/F$, $F_2/F$ จากนั้นผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ $F_1\otimes_F F_2$ สามารถล้มเหลวในการเป็นผลคูณของเขตข้อมูลเมื่อทั้งสองอย่าง $F_1/F$ และ $F_2/F$ เป็นส่วนขยายที่แยกออกจากกันไม่ได้และนั่นเป็นกรณีที่แน่นอนที่นี่

แต่ในกรณีที่ 4 คุณมีส่วนขยายที่แยกออกจากกันได้ แน่นอน$F_1/F$ เป็นส่วนขยาย Kummer ที่นี่เป็น $F=\Bbb F_4(T)$ มีรากสามก้อนของความสามัคคี: $1$, $\omega$ และ $\omega^2$. แล้ว$$F_1\otimes _F F_1\cong F_1\times F_1\times F_1$$ ผ่าน $$a\times b\mapsto (ab,a\sigma(b),a\sigma^2(b))$$ ที่ไหน $\sigma:F_1\to F_1$ คือการใช้ Automorphism $\sqrt[3]T$ ถึง $\omega\sqrt[3]T$.