เกี่ยวกับเครื่องบิน Fano สมมาตร
ฉันกำลังมองหาการตระหนักถึงคำสั่งซื้อ $21$กลุ่ม metacyclic ฉันถามเกี่ยวกับเรื่องนี้เมื่อวานนี้และได้เรียนรู้ข้อมูลที่ดีมากเกี่ยวกับเรื่องนี้การตระหนักถึงกลุ่มเมตาไซคลิกที่ 21
ฉันยังทดลองกับเครื่องบิน Fano และบังเอิญค้นพบบางสิ่งที่ฉันอธิบายไม่ได้ ฉันกำหนดหมายเลขรหัสไบนารีและพิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนที่หมุนเวียนตามลำดับและการเรียงสับเปลี่ยนที่หมุนบิต:
001, 010, 011, 100, 101, 110, and 111
1 2 3 4 5 6 7
gap> StructureDescription(Group((1,2,3,4,5,6,7), (1,2,4)(3,6,5)));
"C7 : C3"
นี่คือกลุ่มเมตาไซคลิก แต่จากนั้นฉันก็มองไปที่เครื่องบิน Fano และเห็นว่ารอบควรจะเป็น$(7,6,4,3,5,1,2)$. วงจรนี้ก่อให้เกิด$\text{PSL}(3,2)$. นอกจากนี้ยังพบว่าวงจร$(7,6,4,3,5,1,2)$ ผลิต $A7$. ดังนั้นฉันจึงสับสนมากเพราะสิ่งแรกที่ฉันพยายามสร้างกลุ่มที่ฉันสนใจ แต่เมื่อฉันดูเครื่องบิน Fano ตอนนี้$7$- รอบดูเหมือนไม่มีความหมาย / สุ่ม
ความหมายทางเรขาคณิตของสิ่งนี้คืออะไร $7$- การเปลี่ยนแปลงของวงจรในแง่ของเครื่องบิน fano?
คำตอบ
ความหมายทางเรขาคณิตของการเรียงสับเปลี่ยน 7 รอบนี้ในแง่ของระนาบ Fano คืออะไร?
เครื่องบินฟาโนเป็นเครื่องบินแบบฉายภาพ $\mathbb{P}(\mathbb{F}_2^3)$. พื้นที่ย่อย 1D ของ$\mathbb{F}_2^3$ (ดังนั้นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เพราะ $\mathbb{F}_2$) แสดงโดย "จุด" และพื้นที่ย่อย 2 มิติของ $\mathbb{F}_2^3$แต่ละอันมีพื้นที่ย่อย 1D สามส่วนเป็น "เส้น" แบบโปรเจกต์ อย่างชัดเจน$\mathbb{F}_2^3$ และด้วยเหตุนี้เครื่องบิน Fano จึงมี $3$สมมาตรพับ ภาพประกอบทั่วไปต่อไปนี้ทำให้ไฟล์$S_3$ สมมาตรชัดเจน:
อย่างไรก็ตามมีบางแง่มุมของเครื่องบิน Fano ที่ภาพนี้ไม่ชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขณะที่เส้นฉายเป็นที่เข้าใจกันว่า$3$- รถจักรยานยนต์ในกราฟด้านบนนี้ซึ่งส่วนใหญ่ $3$- รถจักรยานยนต์มีขอบที่ซ่อนอยู่! เส้นตรงทั้งหมดถูกเข้าใจว่า "พันรอบ" เพื่อตีความเป็นวงกลม เป็นผลให้โหนดกลางแตกต่างจากส่วนที่เหลือทั้งหมดและสิ่งนี้จะทำลายความสมมาตรของระนาบฟาโนจริงซึ่งทุกจุดและทุกเส้นแยกไม่ออก (กล่าวคือกลุ่มสมมาตรทำหน้าที่สกรรมกริยากับพวกเขา)
กลุ่มสมมาตร $G$ ของเครื่องบิน Fano มีขนาด
$$ |\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)|=(2^3-1)(2^3-2)(2^3-2^2)=7\cdot24=168. $$
นอกเหนือ: สิ่งนี้ยังบ่งชี้ว่าควรมีบางประเภท $4$- หรือ $8$- พับสมมาตรกับระนาบ Fano ที่ควรจะพรรณนาได้ อันที่จริงถ้าเราดึงจุดกึ่งกลางขอบด้านนอกของภาพด้านบนและดึงออกมาเล็กน้อยเราจะเห็นรูปหกเหลี่ยมและจากตรงนั้นถ้าเราดึงมันออกจากหน้า (หรือหน้าจอ) เราจะได้รับการต่อต้านรูปสามเหลี่ยมนั่นคือ รูปแปดเหลี่ยม แต่มีจุดศูนย์กลางเชื่อมต่อผ่านขอบกับจุดยอดอีกหกจุด
"แกน" ที่ผ่านจุดศูนย์กลางเหล่านี้เข้าใจว่า "พันรอบ" เช่นเดียวกับเส้นภายในของการพรรณนาก่อนหน้านี้ ยิ่งไปกว่านั้นถ้าเรากระดานหมากรุกใบหน้า (เช่นวาดด้วยสองสีดังนั้นใบหน้าที่อยู่ติดกันจึงมีสีต่างกัน) รูปสามเหลี่ยมของใบหน้าสีแรกที่สอดคล้องกันก็เป็นเส้นฉายเช่นกัน กลุ่มสมมาตรของแปดเหลี่ยมกระดานหมากรุกนี้และด้วยเหตุนี้กลุ่มย่อยสมมาตรของเครื่องบินฟาโนคือ$S_4$. ในบางแง่สิ่งนี้ "ดี" กว่าการแสดงภาพเครื่องบิน Fano ตามปกติเพราะรวมถึงเครื่องบินก่อนหน้านี้อย่างชัดเจน$S_3$ กลุ่มย่อยสมมาตร (เป็นการหมุนรอบใบหน้าบวกกับการสะท้อนบางส่วนทำให้ใบหน้าคู่ตรงข้ามคงที่)
ในการดูสิ่งนี้ก่อนอื่นให้พิจารณากลุ่มสมมาตรเต็มของรูปแปดเหลี่ยม กลุ่มสมมาตรการหมุนคือ$S_4$เช่นเดียวกับลูกบาศก์ (การออกกำลังกายที่ดี) รวมทั้งการสะท้อนที่ไม่เหมาะสมส่วนกลาง $-I_3$ นำกลุ่มสมมาตรแปดด้านมาเป็น $S_4\times\mathbb{Z}_2$. จากการตรวจสอบเฉพาะการเรียงสับเปลี่ยนแบบสม่ำเสมอ (ของเส้นทแยงมุมอวกาศทั้งสี่ผ่านจุดกึ่งกลางของใบหน้าแอนติโพดัล) เท่านั้นที่สามารถทำได้ด้วยการหมุนแบบถนอมกระดานหมากรุกและการสะท้อนของระนาบที่เหมาะสมเท่านั้นที่รักษารูปแบบกระดานหมากรุกดังนั้นกลุ่มสมมาตร$(A_4\times\{I_3\})\sqcup(S_4\setminus A_4\times\{-I_3\})$ ซึ่งเป็นสำเนาไอโซมอร์ฟิกของ $S_4$ (ซึ่งได้รับการ "บิด" จากสำเนาที่ชัดเจนใน $S_4\times\mathbb{Z}_2$).
ในความเป็นจริงนี้ $S_4$ เป็นโคลงของ $111$โหนดกลางเนื่องจากเป็นดัชนี $7$หรือดู
$$ \mathrm{Stab}(111)\cong\mathrm{Aff}_2(\mathbb{F}_2)\cong\mathbb{F}_2^2\rtimes\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)\cong V_4\rtimes S_3 \cong S_4. $$
ข้างต้นเราใช้: (a) วิธีปกติในการวางกลุ่ม Affine ในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของมิติที่สูงกว่าหนึ่งมิติ (เป็นเมทริกซ์บล็อกที่มีแถวสุดท้ายหรือคอลัมน์เป็นเวกเตอร์พิกัดพื้นฐานมาตรฐาน) (b) isomorphism พิเศษ $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$และ (c) ความพิเศษ (ในกลุ่มสมมาตร) ความจริงที่ว่า $S_4$ เป็นผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรง
โดยทฤษฎีบทของ Cauchy $G$ ต้องมีองค์ประกอบของคำสั่ง $7$ซึ่งต้องเป็นไฟล์ $7$- ไซเคิล (เนื่องจากทำหน้าที่ไม่สำคัญกับชุดขนาด $7$) ดังนั้นเครื่องบิน Fano ก็ต้องมีเช่นกัน $7$สมมาตรพับอย่างใด
หากต้องการดูว่า (ทางสายตา) เราจะใช้ประโยชน์จากไอโซมอร์ฟิซึมที่โดดเด่น
$$ \mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)\cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7). $$
มีข้อโต้แย้งมากมายที่แสดงให้เห็นว่าบางเรื่องเป็นเรื่องพื้นฐาน แต่ไม่มีเลยที่ฉันรู้สึกว่า "เป็นธรรมชาติ" และ "เบื้องต้น" ที่น่าพึงพอใจ เราสามารถตรวจสอบขนาดที่ตรงกันได้ทุกอัตรา:
$$ |\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)|=\frac{(7^2-1)(7^2-7)}{2(7-1)}=168. $$
เราจะสร้างเครื่องบิน Fano ขึ้นใหม่ด้วย $7$- สมมาตรพับโดยสังเกตว่าสามารถสร้างได้อย่างไร $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$ และการขนส่งรายละเอียดไปที่ $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$.
สังเกตการหมุนพิกัดของ $\mathbb{F}_2^3$ มีประเภทวงจร $(\cdot\cdot\cdot)(\cdot\cdot\cdot)$ บนเครื่องบิน Fano (แก้ไข $111$กับวงโคจร $100,010,001$ และ $110,101,011$). (หรือเทียบเท่า$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$ของ $3$- การแสดงรอบบนเครื่องบิน Fano มีวงโคจรสองวงที่สอดคล้องกับพิกัดสุดท้าย $0$ หรือ $1$. ในกรณีนี้จุดคงที่คือ$001$ แทน $111$.) หนึ่งในนั้นมีวงโคจรซึ่งเป็นเส้นฉายเนื่องจากการหมุนภาพประกอบทั่วไปของระนาบฟาโนคือสมมาตรแบบฉายภาพและวงกลม (จริง) ในนั้นเป็นเส้นฉาย (เส้นโครงร่างนี้ประกอบด้วยไซเคิลของ$110$.) ทั้งหมด $3$- จักรยานยนต์จะผันเข้า $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$(ตามทฤษฎี Sylow) ดังนั้นจึงใช้ได้กับทุกคน ถ้าเราใช้แบบไม่สำคัญ$7$- หมุนไปที่เส้นโครงร่างเราต้องได้รับทั้งหมด $7$ เส้นฉาย
ดังนั้นเราอาจสร้างเครื่องบินฟาโนได้โดยใช้กลุ่มเมตาไซคลิกนี้ $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$การดำเนินการของ $\mathbb{Z}_7$ (บันทึก $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ เป็นกลุ่มย่อยของโฮโลมอร์ฟ $\mathrm{Hol}(\mathbb{Z}_7)$ซึ่งก็คือ "กลุ่มพันธมิตร" $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)$ดังนั้น $\mathbb{Z}_7$ ทำหน้าที่เป็นประจำและ $\mathbb{Z}_3$ ทำหน้าที่ใน $\mathbb{Z}_7$โดยกลุ่ม automorphisms) ซึ่งสามารถทำได้ภายใน$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ เพื่อจัดทำแผนการติดฉลาก
กลุ่ม $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ ทำหน้าที่ในเส้นโครงร่าง $\mathbb{F}_7\mathbb{P}^1=\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$ โดยการแปลง Mobius มีกลุ่มย่อยโคลง $\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ ทำหน้าที่โดย Affine functions ของ $\mathbb{F}_7$ ของแบบฟอร์ม $f(x)=a^2x+b$ ($a\ne0$) ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ $\pm[\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1}\end{smallmatrix}]$ ใน $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ซึ่งก็เหมือนกับการเป็นอยู่ $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)\cong\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_6$ แต่ก็ไม่มาก (โปรดทราบด้วย $G$ ไม่มีคำสั่งซื้อ $6$ ธาตุ).
เพราะ $2^3\equiv1$ mod $7$, แผนที่ $x\mapsto 2x$ มีคำสั่งซื้อ $3$. หนึ่งในวงโคจรที่ไม่สำคัญคือ$\{1,2,4\}$ซึ่งเราจะประกาศว่าเป็นเส้นฉาย ควรมี$7$ เส้นโครงร่างและกลุ่มสมมาตรควรกระทำกับสิ่งเหล่านี้ในลักษณะสกรรมกริยาดังนั้นเราควรได้เส้นฉายใหม่ทั้งหมดในแบบจำลองใหม่ของเราโดยการแปล $\{1,2,4\}$. มันเพียงพอที่จะแปลเส้นโปรเจกต์โดยใช้$7$- รีไซเคิล $x\mapsto x+1$ฟังก์ชัน Affine ดังนั้นประเด็นของเราคือ$\{1,2,\cdots,7\}$ และสายของเราคือ $\{a+1,a+2,a+4\}$.
[ตั้งแต่โมเบียสแปลงร่าง (ซึ่งเป็นอย่างไร $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ ทำหน้าที่ใน $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$ซึ่งมีองค์ประกอบแทนจุดของเส้นฉาย $\mathbb{P}(\mathbb{F}_7^2)$) รักษาอัตราส่วนไขว้เราสามารถสังเกตเส้นโครงร่างเหล่านี้ (ในเครื่องบินฟาโนรุ่นใหม่ของเรา) เป็นสามเท่าที่มีอัตราส่วนข้ามที่ระบุ เพียงแค่กัน]
สิ่งนี้ทำให้เราเห็นภาพเครื่องบิน Fano ดังต่อไปนี้:
สามเหลี่ยมสีแต่ละเส้นเป็นเส้นฉาย นี่คือกราฟที่สมบูรณ์$K_7$ดังนั้นจึงไม่มีขอบ "หาย" หรือ "ซ่อน" ในรุ่นนี้ซึ่งแตกต่างจากรุ่นอื่น ๆ (สามเหลี่ยมมีจุดมุ่งหมายเพื่ออธิบายตารางการคูณอ็อกโทเนียน)
เราสามารถลบขอบหนึ่งออกจากสามเหลี่ยมแต่ละรูปเพื่อให้ได้ภาพอื่นโดยมี "ขอบที่ซ่อนอยู่" ในเส้นฉายเช่นเดียวกับภาพต้นฉบับ แต่อย่างไรก็ตามซึ่งแสดงให้เห็นถึง $7$สมมาตรพับและไม่มีจุดหรือเส้นที่แตกต่าง:
ความคิดบางอย่าง (ก) โครงสร้างนี้ใช้เฉพาะกลุ่มย่อย metacyclic$\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ ของ $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ไม่ใช่เรื่องทั้งหมด ดังนั้น (b) จึงไม่ได้แสดงให้เห็นอย่างแน่นอนว่าทำไม$\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)=\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$และแท้จริง (c) การกระทำของ $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ ของเมื่อวันที่ $\mathbb{F}_7$ ไม่ชัดเจนสำหรับฉัน - โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของโมเบียสอีกต่อไปเนื่องจากพวกมันสกรรมกริยาบน $8$- ชุดองค์ประกอบ $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$.
ความจริงที่ว่า $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ ทำหน้าที่สกรรมกริยากับชุดของทั้งสองขนาด $7$ และ $8$ มีความเหมือนกันอย่างมากกับข้อเท็จจริง $\mathrm{Spin}(7)$ ทำหน้าที่ทั้งสองอย่างอย่างไม่น่าเชื่อ $\mathbb{R}^7$ (ผ่านการหมุน) และ $\mathbb{R}^8$(ผ่าน octonions) บางทีอาจพบความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นโดยการตอบว่า "ไฟล์$\mathbb{F}_1$ รุ่นของอ็อกโทเนียน? "