คำจำกัดความทั่วไปของแหล่งที่มาและซิงก์สำหรับฟิลด์เวกเตอร์

Question

เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่าคำจำกัดความของแหล่งที่มาและอ่างล้างจานตามลำดับจะได้รับในแง่ของตัวดำเนินการไดเวอร์เจนซ์

นั่นคือกำหนดฟิลด์เวกเตอร์ $\vec{D}$มันมีแหล่งที่มาในจุด$P$ ถ้าความแตกต่างของมัน $\text{div}\vec{D}$ เป็นพิษใน $P$หรืออ่างล้างจานถ้าเป็นลบ ตัวอย่างเช่นในแม่เหล็กไฟฟ้ามีคนหนึ่งกล่าวว่า$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ ที่ไหน $\rho_v$ คือความหนาแน่นของประจุปริมาตรและ $\vec{D}$ คือความหนาแน่นของฟลักซ์ไฟฟ้า

แต่เอาเป็นว่า $\vec{D}$ ได้รับจากประจุบวก $q$ ตั้งอยู่ที่ $(0,0,0)$ ซึ่งสร้างฟิลด์

$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$

ที่ไหน $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

ในกรณีนี้, $\text{div}\vec{D}=0$ ทุกที่อย่างไรก็ตามแหล่งกำเนิดเป็นแหล่งกำเนิดเมื่อฟิลด์ "โผล่ออกมา" จากที่นั่นและฟลักซ์สุทธิบนพื้นผิวแต่ละด้านที่ล้อมรอบประจุเป็นบวก

คำถามของฉันคือมีคำจำกัดความอื่น ๆ ของแหล่งที่มาและอ่างล้างจานหรือไม่? อาจเป็นไปได้ว่ามีบางกรณีที่กว้างกว่าเล็กน้อยและครอบคลุมกรณีที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นเช่นกรณีที่ฉันได้กล่าวถึงล่าสุด?

Answer 1

ฉันคิดว่าลักษณะทั่วไปที่เข้าใจง่ายอย่างหนึ่งมาจากทฤษฎีบทความแตกต่าง! กล่าวคือถ้าเรารู้ว่าสนามเวกเตอร์มีความแตกต่างเชิงบวกในบางพื้นที่อินทิกรัลบนพื้นผิวของลูกบอลรอบ ๆ พื้นที่นั้นจะเป็นบวก นั่นรวมถึงตัวอย่างของคุณเพราะวิธีนั้นเราไม่จำเป็นต้องดูความเป็นเอกฐานที่$x = 0$เราแค่ดูลูกบอลรอบ ๆ ความเป็นเอกฐานนั้น!

แสดงโดย $B_r(p)$ ลูกเปิดของรัศมี $r > 0$ รอบ ๆ $p$และแสดงโดย $\partial B_r(p)$ พื้นผิวขอบเขตของมัน

ปล่อย $U \subset \mathbb{R}^n$ เป็นชุดเปิดและ $p \in \mathbb{R}^n$ จุดเพื่อให้มี $\epsilon > 0$ เพื่อให้ทรงกลม $\partial B_r(p)$ มีอยู่ใน $U$ เพื่อทุกสิ่ง $r < \epsilon$.

กำหนดฟิลด์เวกเตอร์ต่อเนื่อง $X : U \to \mathbb{R^n}$เราว่าประเด็น $p \in U$ คือ...

• ... แหล่งสำหรับ$X$ หากมีไฟล์ $\epsilon > 0$ ดังนั้น $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
• ... อ่างสำหรับ$X$ คือถ้ามีไฟล์ $\epsilon > 0$ ดังนั้น $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$

หากช่องเวกเตอร์ของคุณสามารถขยายให้เรียบในการตกแต่งภายในทั้งหมด $B_r(p)$ ของทรงกลม $S_r(p)$จากนั้นทฤษฎีบทความแตกต่างจะบอกเรา

$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$

จากนั้นคำจำกัดความของคุณก็บ่งบอกถึงสิ่งนี้เพราะถ้า $\text{div} X(p) > 0$ ในจุดเดียวจากนั้นโดยอาร์กิวเมนต์ความต่อเนื่องจะมีทั้งลูกบอล $B_r(p)$ ที่ $\text{div} X > 0$.

คุณจะพบว่าตัวอย่างของคุณเข้ากันได้ดีกับคำจำกัดความนี้และคุณสามารถคำนวณปริพันธ์บนลูกบอลรอบศูนย์ได้อย่างง่ายดายและทั้งหมดจะเป็นบวกแม้ว่าคุณจะไม่สามารถแตะจุดศูนย์ได้เลยก็ตาม

ฉันไม่ได้อ้างอิงจากตำราใด ๆ ดังนั้นระวังนี่เป็นเพียงความคิดเห็นของฉันเองเกี่ยวกับลักษณะทั่วไปที่สมเหตุสมผล :)

แก้ไข: อีกทางเลือกหนึ่งคือการเปลี่ยนนิยามของความแตกต่าง แต่ยังคงใช้แนวคิดนี้ในการรวมลูกบอลรอบ ๆ จุดดูตัวอย่างในคำถามและคำตอบนี้

Answer 2

ในกรณีที่สามารถรวมฟิลด์เวกเตอร์ได้คุณสามารถให้คำจำกัดความโทโพโลยีได้มากขึ้น

ปล่อย $\vec{D}$ เป็นฟิลด์เวกเตอร์อินทิเกรตและ $d$ฟลักซ์ของมัน ปล่อย$p$ ดังนั้น $\vec{D}(p)=0$.

$p$ คือ $\textit{sink}$ iff มีชุดเปิดอยู่ $U$ ที่มี $p$ ดังนั้น $\overline{d(U)} \subset U$.

$p$ คือ $\textit{source}$ iff มีชุดเปิดอยู่ $U$ ที่มี $p$ ดังนั้น $\overline{U} \subset {d(U)} $.