ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^7y^6$ ใน $(xy+x+3y+3)^8$
หาค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^7y^6$ ใน $(xy+x+3y+3)^8$.
วิธีแก้ปัญหาของฉัน:
ปัจจัย $(xy+x+3y+3)^8$ เป็น $(x+3)^8(y+1)^8$. เพื่อรับไฟล์$x^7y^6$ เทอมเราต้องหาค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^7$ ในปัจจัยแรกและ $y^6$ในปัจจัยที่สอง โดยใช้ทฤษฎีบททวินามเราได้ค่าสัมประสิทธิ์ของ$x^7$ เป็น $17496$ และ $y^6$ เป็น $28$. การคูณทั้งสองทำให้เราได้รับคำตอบ$489888.$
อย่างไรก็ตามนี่เป็นสิ่งที่ผิด นี่คือแนวทางของกุญแจคำตอบ:
$x^7y^6 = (xy)^6 \cdot x = (xy)^5 \cdot x^2 \cdot y$. ตอนนี้$(xy)^6\cdot x$ สามารถเกิดขึ้นได้โดยการเลือก $6$ $xy$ของ, $1$ $x$และ $1$ $3$ซึ่งสามารถทำได้ใน $\binom{8}{6}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 56$ วิธี $(xy)^5\cdot x^2\cdot y$ สามารถเกิดขึ้นได้โดยการเลือก $5$ $xy$ของ, $2$ $x$และ $1$ $3y$ซึ่งสามารถทำได้ใน $\binom{8}{5}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 168$วิธี ดังนั้นสัมประสิทธิ์สุดท้ายคือ$3(56+168) = 672$ วิธี
ฉันเข้าใจแนวทางของพวกเขาอย่างสมบูรณ์ แต่ไม่เข้าใจว่าทำไมของฉันถึงไม่ได้ผล อย่าเพิ่งคำนวณจำนวนวิธีที่จะได้รับ$x^7$และ $y^6$แล้วคูณมัน?
ที่น่าสนใจก็คือฉันสังเกตว่าเมื่อคุณคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^1$ (ซึ่งเป็น $x^{8-7}$) และ $y^2$ (ซึ่งเป็น $y^{8-6}$), คุณได้รับ $3\cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{8}{2} = 672$ซึ่งเป็นคำตอบ ฉัน$99\%$ แน่ใจว่านี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ แต่ทำไมวิธีนี้ถึงใช้ได้ผลไม่ใช่วิธีอื่น
ฉันรู้ว่าฉันไม่ได้คำนวณผิดเพราะฉันตรวจสอบทุกอย่างด้วย WolframAlpha อีกครั้ง ข้อผิดพลาดต้องอยู่ในกระบวนการของฉัน
ขอบคุณล่วงหน้า!
(คำถามจาก PuMaC 2017 Algebra B)
คำตอบ
ปัจจัยสำหรับ $x^7$ คือ $24$ และสำหรับ $y^6$ คือ $28$ซึ่งการคูณเป็นคำตอบที่ถูกต้อง คุณอาจใช้ทฤษฎีบททวินามไม่ถูกต้อง
ในฐานะที่เป็นส่วนเสริมวิธีการของคุณถูกต้องสมบูรณ์