คำศัพท์: การเป็นตัวแทนที่ราบรื่นของกลุ่มที่มีความเชี่ยวชาญในท้องถิ่น
ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มที่มีความลึกซึ้งในท้องถิ่น
การแสดงที่ราบรื่นคือการแสดงที่ซับซ้อน ($V,\rho$) ของ $G$ เช่นว่าโคลงใด ๆ $v \in V$ เปิด.
หนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่า (เป็น $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ เป็นกลุ่มโกหกและมี NSS) ซึ่งเป็นตัวแทนของ (มิติ จำกัด ) $G$ เป็นแบบต่อเนื่องหากและต่อเมื่อ $\ker(\rho)$ เปิด.
ดังนั้นในมิติที่ จำกัด การแสดงอย่างต่อเนื่องจึงราบรื่น
นอกจากนี้ยังเป็น $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ และจุดตัดทางด้านขวาสามารถนำมาพิจารณาเป็นมิติที่ จำกัด ได้ $V$เรียบยังหมายถึงความต่อเนื่อง ดังนั้นสิ่งเหล่านี้จึงเทียบเท่ากับมิติที่ จำกัด
แล้วมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดล่ะ? อย่างใดอย่างหนึ่งหมายถึงอื่น ๆ ?
เหตุผลของคำศัพท์นี้คืออะไร? ฉันถามเพียงเพราะฉันมีเงื่อนไขที่จะคิดว่าผลกระทบเหล่านี้จะต้องมีนัยต่อเนื่องอย่างราบรื่นและไม่จำเป็นต้องเป็นไปในทางอื่น!
คำตอบ
ฉันคิดว่าต่อเนื่องในที่นี้หมายถึงแผนที่ $P:G \times V \rightarrow V$เป็นแบบต่อเนื่องโดยให้ V โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง จากนั้นสมูทแสดงถึงความต่อเนื่องตามความหมายอย่างแน่นอน (ตรวจสอบภาพผกผันของเวกเตอร์เดียวภายใต้ P เปิด)
แต่ฉันไม่คิดว่าอีกด้านหนึ่งจะถูกต้องเท่าที่ควรขึ้นอยู่กับกลุ่ม
แล้ว $G=\mathbb Z_p$ ทำหน้าที่ $L^2(\mathbb Z_p)$ โดยการแปลเป็นแบบต่อเนื่อง แต่ง่ายต่อการสร้างฟังก์ชันที่ไม่ใช่ค่าคงที่ในเครื่อง $L^2(\mathbb Z_p)$.
นอกจากนี้ยังทำให้เข้าใจผิดที่จะกล่าวว่าช่องว่าง repn แบบเรียบ "ไม่มีโทโพโลยี" หรือ "มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง" แต่พวกเขามีโทโพโลยี colimit จากการแสดงเป็นสหภาพจากน้อยไปหามากของพื้นที่ย่อยที่มีมิติ จำกัด ใช่ทุกแผนที่เชิงเส้นจากพื้นที่ดังกล่าวมีความต่อเนื่อง ... ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมคำพูดที่ไม่ถูกต้องเกี่ยวกับโทโพโลยีจึงไม่นำไปสู่หายนะโดยตรง :)
ดังนั้นในกรณีที่ดีที่สุดสำหรับการเปิดแบบกะทัดรัดทุกครั้ง $K$ ใน $G$, พื้นที่ย่อย $V^K$ ของ $K$- เวกเตอร์คงที่คือมิติที่ จำกัด และ $V=\bigcup V^K$. สิ่งนี้ไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับ$V=L^2(\mathbb Z_p)$แต่เป็นที่ถูกต้องสำหรับ$V$ ที่ $K$เวกเตอร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ของอย่างนั้น.