คำขออ้างอิง: สมการไดโอแฟนไทน์

Aug 17 2020

ฉันกำลังมองหาหนังสือเรียนหรือการบรรยายในหัวข้อสมการไดโอแฟนไทน์ ฉันคุ้นเคยกับหลักการพื้นฐานของเลขคณิตโมดูลาร์รูปกรวยและหลักการ Hasse และพื้นฐานของเส้นโค้งรูปไข่ทฤษฎีบทของมอร์เดลล์เป็นต้น (แม้ว่าฉันจะไม่ถึงจุดที่ฉันสามารถเข้าใจการพิสูจน์ได้)

สิ่งที่ฉันต้องการคือสิ่งที่พาฉันไปไกลกว่าพื้นฐาน บางสิ่งที่จะสอนฉันเกี่ยวกับทฤษฎีขั้นสูงและยังสอนฉันเกี่ยวกับพื้นผิวไดโอแฟนไทน์ (ไม่ใช่แค่เส้นโค้ง)

คำตอบ

8 RP_ Aug 18 2020 at 10:24

นี่อาจเป็นทางเลือกที่ดีสำหรับคนที่ (เช่นตัวคุณเอง) คุ้นเคยกับคำจำกัดความและวิธีการของรูปเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์อย่างผิวเผิน:

  • Marc Hindry, Joseph H.Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.

สองบทความต่อไปนี้เป็นบทความเชิงอธิบายที่ยอดเยี่ยม (โดยเฉพาะเรื่องแรก) ซึ่งทำให้ฉันได้รับแรงบันดาลใจมากมายในวันนั้น:

  • Mazur, แบร์รี่ เลขคณิตเกี่ยวกับเส้นโค้ง วัว. Amer. คณิตศาสตร์. Soc. (NS) 14 (1986) เลขที่ 2, 207--259https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167

  • Mazur, แบร์รี่ เกี่ยวกับเนื้อเรื่องจากท้องถิ่นสู่ทั่วโลกในทฤษฎีจำนวน ( ลิงค์ )

Henri Darmon มีบทความดีๆสองสามบทความเกี่ยวกับประเด็นที่เป็นเหตุเป็นผลบนเส้นโค้ง:

  • จุดเหตุผลบนเส้นโค้ง ( ลิงค์ )

  • จุดที่มีเหตุผลบนเส้นโค้งวงรีแบบแยกส่วน ( ลิงค์ )

Anthony Varilly-Alvarado มีคำแนะนำที่ดีมากมายเกี่ยวกับหัวข้อประเด็นที่มีเหตุผลบนพื้นผิวประเภทต่างๆ:

  • การบรรยายเกี่ยวกับเลขคณิตของพื้นผิว del Pezzo ( ลิงค์ )

  • เลขคณิตของพื้นผิว K3 ( ลิงค์ )

Alexei Skorobogatov สอนหลักสูตรในปี 2013 ในหัวข้อประเด็นที่มีเหตุผลบนพื้นผิวและพันธุ์ที่มีมิติสูงกว่า โน้ตสร้างความสมดุลระหว่างความสามารถในการเข้าถึงและทั่วไป:

  • เรขาคณิตเลขคณิต: จุดที่มีเหตุผล ( ลิงค์ )

จากนั้นมีบันทึกย่อเหล่านี้โดย Yonatan Harpaz เกี่ยวกับจุดที่มีเหตุผลบนพื้นผิวรูปไข่:

  • จุดที่มีเหตุผลเกี่ยวกับการเกิดรูปไข่ - หมายเหตุหลักสูตร ( ลิงค์ )

สุดท้าย (สำหรับตอนนี้) Brendan Hassett มีบทความที่ดีในหัวข้อความหนาแน่นที่เป็นไปได้ของจุดเหตุผลเกี่ยวกับพันธุ์ซึ่งน่าสนใจมากเช่นกัน:

  • ความหนาแน่นที่อาจเกิดขึ้นของคะแนนเชิงเหตุผลเกี่ยวกับพันธุ์พีชคณิต ( ลิงค์ )
7 MaxAlekseyev Aug 18 2020 at 07:16

เช่น

  • ทฤษฎีจำนวน: Volume I: Tools and Diophantine Equations , Graduate Texts in Mathematics 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; และ
  • ทฤษฎีจำนวน: เล่มที่สอง: การวิเคราะห์และเครื่องมือที่ทันสมัยบัณฑิตตำราในวิชาคณิตศาสตร์240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2

โดย Henri Cohen

6 DanielLoughran Aug 18 2020 at 08:32

เป็นเรื่องยากที่จะก้าวไปไกลในทฤษฎีสมัยใหม่โดยไม่มีเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

นี่คือแนวทางในหนังสือ:

  • Bjorn Poonen, จุดเหตุผลเรื่องพันธุ์ , บัณฑิตศึกษาคณิตศาสตร์186 (2017), หน้าสำนักพิมพ์ , Author pdf .
4 GHfromMO Aug 18 2020 at 14:01

หากคุณสนใจในการประยุกต์ใช้วิธีการของ Baker ทฤษฎีบทพื้นที่ย่อยของ Schmidt เป็นต้นคุณอาจชอบหนังสือล่าสุดต่อไปนี้โดย Evertse และGyőry:

  • สมการแบ่งแยกในทฤษฎีจำนวนไดโอแฟนไทน์ , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017
  • สมการหน่วยในทฤษฎีจำนวนไดโอแฟนไทน์ , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015
3 MaciejUlas Aug 29 2020 at 09:42

สำหรับหนังสือที่กล่าวถึงข้างต้นฉันจะเพิ่มอีกหนึ่ง:

  • ตัวแปรที่มีเหตุผลและเกือบจะมีเหตุผล (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) โดยJ.Kollár, KE Smith และ A.Corti

ผู้เขียนนำเสนอแนวทางเบื้องต้นเกี่ยวกับคำถามเชิงเหตุผลโดยใช้วิธีการแบบคลาสสิกและแบบสมัยใหม่ที่ผสมผสานกัน