คำขออ้างอิง: สมการไดโอแฟนไทน์
ฉันกำลังมองหาหนังสือเรียนหรือการบรรยายในหัวข้อสมการไดโอแฟนไทน์ ฉันคุ้นเคยกับหลักการพื้นฐานของเลขคณิตโมดูลาร์รูปกรวยและหลักการ Hasse และพื้นฐานของเส้นโค้งรูปไข่ทฤษฎีบทของมอร์เดลล์เป็นต้น (แม้ว่าฉันจะไม่ถึงจุดที่ฉันสามารถเข้าใจการพิสูจน์ได้)
สิ่งที่ฉันต้องการคือสิ่งที่พาฉันไปไกลกว่าพื้นฐาน บางสิ่งที่จะสอนฉันเกี่ยวกับทฤษฎีขั้นสูงและยังสอนฉันเกี่ยวกับพื้นผิวไดโอแฟนไทน์ (ไม่ใช่แค่เส้นโค้ง)
คำตอบ
นี่อาจเป็นทางเลือกที่ดีสำหรับคนที่ (เช่นตัวคุณเอง) คุ้นเคยกับคำจำกัดความและวิธีการของรูปเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์อย่างผิวเผิน:
- Marc Hindry, Joseph H.Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.
สองบทความต่อไปนี้เป็นบทความเชิงอธิบายที่ยอดเยี่ยม (โดยเฉพาะเรื่องแรก) ซึ่งทำให้ฉันได้รับแรงบันดาลใจมากมายในวันนั้น:
Mazur, แบร์รี่ เลขคณิตเกี่ยวกับเส้นโค้ง วัว. Amer. คณิตศาสตร์. Soc. (NS) 14 (1986) เลขที่ 2, 207--259https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
Mazur, แบร์รี่ เกี่ยวกับเนื้อเรื่องจากท้องถิ่นสู่ทั่วโลกในทฤษฎีจำนวน ( ลิงค์ )
Henri Darmon มีบทความดีๆสองสามบทความเกี่ยวกับประเด็นที่เป็นเหตุเป็นผลบนเส้นโค้ง:
จุดเหตุผลบนเส้นโค้ง ( ลิงค์ )
จุดที่มีเหตุผลบนเส้นโค้งวงรีแบบแยกส่วน ( ลิงค์ )
Anthony Varilly-Alvarado มีคำแนะนำที่ดีมากมายเกี่ยวกับหัวข้อประเด็นที่มีเหตุผลบนพื้นผิวประเภทต่างๆ:
การบรรยายเกี่ยวกับเลขคณิตของพื้นผิว del Pezzo ( ลิงค์ )
เลขคณิตของพื้นผิว K3 ( ลิงค์ )
Alexei Skorobogatov สอนหลักสูตรในปี 2013 ในหัวข้อประเด็นที่มีเหตุผลบนพื้นผิวและพันธุ์ที่มีมิติสูงกว่า โน้ตสร้างความสมดุลระหว่างความสามารถในการเข้าถึงและทั่วไป:
- เรขาคณิตเลขคณิต: จุดที่มีเหตุผล ( ลิงค์ )
จากนั้นมีบันทึกย่อเหล่านี้โดย Yonatan Harpaz เกี่ยวกับจุดที่มีเหตุผลบนพื้นผิวรูปไข่:
- จุดที่มีเหตุผลเกี่ยวกับการเกิดรูปไข่ - หมายเหตุหลักสูตร ( ลิงค์ )
สุดท้าย (สำหรับตอนนี้) Brendan Hassett มีบทความที่ดีในหัวข้อความหนาแน่นที่เป็นไปได้ของจุดเหตุผลเกี่ยวกับพันธุ์ซึ่งน่าสนใจมากเช่นกัน:
- ความหนาแน่นที่อาจเกิดขึ้นของคะแนนเชิงเหตุผลเกี่ยวกับพันธุ์พีชคณิต ( ลิงค์ )
เช่น
- ทฤษฎีจำนวน: Volume I: Tools and Diophantine Equations , Graduate Texts in Mathematics 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; และ
- ทฤษฎีจำนวน: เล่มที่สอง: การวิเคราะห์และเครื่องมือที่ทันสมัยบัณฑิตตำราในวิชาคณิตศาสตร์240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
โดย Henri Cohen
เป็นเรื่องยากที่จะก้าวไปไกลในทฤษฎีสมัยใหม่โดยไม่มีเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
นี่คือแนวทางในหนังสือ:
- Bjorn Poonen, จุดเหตุผลเรื่องพันธุ์ , บัณฑิตศึกษาคณิตศาสตร์186 (2017), หน้าสำนักพิมพ์ , Author pdf .
หากคุณสนใจในการประยุกต์ใช้วิธีการของ Baker ทฤษฎีบทพื้นที่ย่อยของ Schmidt เป็นต้นคุณอาจชอบหนังสือล่าสุดต่อไปนี้โดย Evertse และGyőry:
- สมการแบ่งแยกในทฤษฎีจำนวนไดโอแฟนไทน์ , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017
- สมการหน่วยในทฤษฎีจำนวนไดโอแฟนไทน์ , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015
สำหรับหนังสือที่กล่าวถึงข้างต้นฉันจะเพิ่มอีกหนึ่ง:
- ตัวแปรที่มีเหตุผลและเกือบจะมีเหตุผล (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) โดยJ.Kollár, KE Smith และ A.Corti
ผู้เขียนนำเสนอแนวทางเบื้องต้นเกี่ยวกับคำถามเชิงเหตุผลโดยใช้วิธีการแบบคลาสสิกและแบบสมัยใหม่ที่ผสมผสานกัน