คำนวณขีด จำกัด $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Question

ฉันต้องคำนวณวงเงิน $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

อันที่จริงฉันมีวิธีแก้ปัญหา แต่ควรเป็นคำตอบ 60 วินาทีหรือน้อยกว่านั้น (จากการสอบที่มีคำถามมากกว่านี้)

ดังนั้นฉันจึงอยากรู้ว่ามีวิธีที่ง่ายกว่านี้หรือฉันจะต้องคิดให้เร็วขึ้น

นี่คือสิ่งที่ฉันลอง:

สำหรับ $ x\to \infty $ ด้วย $ t\to\infty $ และ $ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $ เพื่อให้เราสามารถขยายเทย์เลอร์ได้ $ cos $ รอบ ๆ $ 0 $:

$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $ ดังนั้น:

$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $

และนอกจากนี้ยังมี $ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $ ดังนั้น

$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $

ตอนนี้:

$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

และ $ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $

ด้วยประการฉะนี้ $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $

ฉันใช้เวลานานพอสมควรในการคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้หากมีวิธี / เคล็ดลับหรือเทคนิคที่ง่ายกว่านี้จะเป็นประโยชน์มาก

ขอบคุณล่วงหน้า

Answer 1

มีวิธีที่ง่ายกว่านั้น ถ้า$x$ มีขนาดใหญ่เพียงพอแล้ว $0\leq 1-\cos (\frac 1 {t^{2}})<\epsilon$ เพื่อทุกสิ่ง $t \in (x,2x)$. ดังนั้น$\int_x^{2x} \frac 1 t [1-\cos (\frac 1 {t^{2}})]dt<\epsilon (\ln (2x)-\ln x)=(\ln 2) \epsilon$. ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะหาขีด จำกัด ของ$\int_x^{2x} \frac 1 t dt $ ซึ่งเป็น $\ln 2$ โดยการคำนวณโดยตรง