คำถามเกี่ยวกับกฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์บางส่วน
ปล่อย $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างและพิจารณาฟังก์ชัน $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. คำนวณ$\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ และ $\frac{\partial F}{\partial z}$ ในแง่ของ $f$อนุพันธ์บางส่วนลำดับแรก
ฉันเริ่มต้นด้วยการตระหนักถึงสิ่งนั้น$F=f\circ g$, ที่ไหน $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. ขอแสดงความนับถือ$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ และ $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$ส่วนประกอบของ
ตามกฎลูกโซ่ฉันรู้ว่า$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ และความสัมพันธ์เดียวกันถือไว้สำหรับ $\partial y$ และ $\partial z$แต่ฉันไม่เข้าใจว่าจะทำให้ง่ายขึ้นได้อย่างไร $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ และ $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. เท่าที่ฉันเข้าใจนี่คืออนุพันธ์บางส่วนของ$f$ เกี่ยวกับฟังก์ชั่น $u$ และ $v$. ฉันจะคำนวณสิ่งเหล่านี้ได้อย่างไร
คำตอบ
เพื่อให้สิ่งต่างๆชัดเจนขึ้นให้ระบุ $u$ และ $v$ ตัวแปรสำหรับ $f$, ที่ไหน $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$
กฎลูกโซ่ยืนยันว่า \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} และในทำนองเดียวกันสำหรับอนุพันธ์ย่อยอื่น ๆ
หากคุณใช้กฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์ของ $multivariate$ คุณสามารถอ่านไฟล์ $partial$อนุพันธ์ เรามีตามความคิดของคุณอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น
$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$
ในรูปแบบเมทริกซ์
$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$
ตอนนี้เมทริกซ์หลายชั้นเพื่ออ่านอนุพันธ์