คำถามเรื่องอสมการเศษส่วน

Question

$a,b$เป็นจำนวนเต็มบวก ปล่อย$\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ $b$ ดังนั้น $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$. กำหนดค่าของ$a+b$.

---

ฉันได้พยายามทำให้อสมการง่ายขึ้น แต่ฉันติดขัด อย่างไรก็ตามฉันรู้ว่าเป็น$b$ จะต้องมีขนาดเล็กที่สุดก็เช่นกัน $a$.

มีความคิดอย่างไรกับคำถามนี้ ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ

Answer 1

บางทีสิ่งต่อไปนี้อาจช่วยได้

เรามี $$386b+1\leq2019a$$ และ $$35b\geq183a+1.$$ เราสามารถแก้สมการ $35b=183a+1,$ ซึ่งจะช่วยให้ $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ ที่ไหน $k\geq0$ เป็นจำนวนเต็มซึ่งให้เศษส่วน $\frac{13}{68}.$

ง่ายต่อการดูว่า $\frac{13}{68}$ ไม่ถูกต้อง

ตอนนี้เราสามารถใช้ $k=1$, $k=2$, ...

นอกจากนี้เราสามารถแก้สมการได้ $386b+1=2019a,$ ซึ่งจะช่วยให้ $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ ที่ไหน $k\geq0$ เป็นจำนวนเต็ม

ง่ายต่อการดูว่า $\frac{373}{1951}$ ถูกต้อง

ฉันเข้าใจว่าในกรณีแรก $k=1$ ถูกต้องซึ่งให้ $\frac{48}{251}.$

Answer 2

เศษส่วนต่อเนื่องของ$386/2019$ คือ $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

เศษส่วนต่อเนื่องของ$35/183$ คือ $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

เศษส่วนที่ง่ายที่สุดที่อยู่ระหว่างตัวเลขเหล่านี้อย่างเคร่งครัดจึงมีเศษส่วนต่อเนื่อง $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$