ขีด จำกัด ของฟังก์ชันนูน

Question

ฉันต้องการตรวจสอบการออกกำลังกายต่อไปนี้:

ปล่อย $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ฟังก์ชันนูน

• พิสูจน์ว่า $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ และ $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ มีอยู่

• แสดงว่าถ้าขีด จำกัด ทั้งสองอย่างแน่นอนแล้ว $f$ คงที่

---

ความพยายามของฉัน:

i) ฉันรู้ว่าถ้า $f$ นูนแล้ว $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$

ถ้าฉันแก้ไขโดยพลการ $N>0$แล้วฉันมีสิ่งนั้นสำหรับ $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$ด้วยความนูนจึงพิสูจน์ขีด จำกัด ของ $+ \infty$ คือ $+\infty$.

ใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันกับ $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$: มันเพียงพอที่จะทราบว่าสำหรับ $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$.

---

ii)

เป็นภาพที่ชัดเจน แต่ฉันมีปัญหาในการทำให้เป็นทางการ

ถ้าขีด จำกัด จำกัด ให้พูด $L$แล้วสำหรับทุกๆ $\varepsilon >0$ มีไฟล์ $M(\varepsilon)$ เช่นนั้นสำหรับ $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$

สมมติ $f (x) \ne c$. ตามความหมายของความนูนจะต้องมีไว้ (สำหรับ$t \in [0,1]$) $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$

ตอนนี้ตามคำจำกัดความของขีด จำกัด $f(M)$ และ $f(M+1)$ น้อยกว่า $L-\varepsilon$. นอกจากนี้อาร์กิวเมนต์ใน rhs ของอสมการสามารถทำให้ง่ายขึ้น:

$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$

ดังนั้น $$L-\varepsilon < f(M-t)$$ซึ่งเป็นความขัดแย้งเนื่องจาก $M-t<M$ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถมากกว่า $L-\varepsilon$.

ดังนั้น $f$ จะต้องเท่ากับ $c$. แน่นอนในกรณีนี้มันยังคงนูน (เล็กน้อย) และข้อ จำกัด นั้นแน่นอน

Answer 1

คำแนะนำ:พยายามพิสูจน์ว่าฟังก์ชันนูนลดลงทั้งเพิ่มขึ้นลดลงแล้วเพิ่มขึ้น

Answer 2

ความนูนมักจะหมายถึง$\le$"ไม่ใช่"$\lt$"(มิฉะนั้นจะเป็น" นูนอย่างเคร่งครัด ")

คุณไม่ต้องการแสดงว่า f ไปที่อินฟินิตี้เสมอไปเพราะมันไม่จำเป็น

เริ่มกับ $x\rightarrow\infty$.

สมมติว่าอันดับแรกมีสองจุด $x\lt y$ ด้วย $f(x)\lt f(y)$. จากนั้นเราสามารถแสดงว่า f ไปที่อินฟินิตี้ เราสามารถสมมติได้โดยไม่สูญเสียความเป็นธรรมดานั้น$x=0$ และ $f(x)=0$ (ถ้าไม่ให้เลื่อนและเลื่อน f ไปเรื่อย ๆ มันจะไม่เปลี่ยนพฤติกรรมที่เราสนใจ)

พิจารณาบางส่วน $z>y$. ตั้งแต่$y>x=0$แล้ว $z=y/t$ สำหรับบางคน $0<t<1$. ดังนั้นโดยความนูน$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ ดังนั้น $f(z)\ge f(y)/t$. เช่น$z\rightarrow \infty$ ชัดเจนว่า $t$ ไปที่ $0$ดังนั้น $f(y)/t\rightarrow\infty$ (จำไว้ $f(y)>0$) และเป็นเช่นนั้น $f(z)$. ดังนั้นในกรณีนี้$f$ เพิ่มขึ้นเป็นอนันต์

มิฉะนั้นความคิดของเราจะเป็นเท็จดังนั้น f จะต้องเป็นค่าคงที่ไม่เช่นนั้นก็ไม่ใช่ค่าคงที่และโมโนโทนจะลดลง สมมติว่าเป็นอย่างหลัง อีกครั้งย้ายจุดเริ่มต้นเพื่อที่$f(0)=0$. แล้ว$f(1)<0$ และง่ายต่อการแสดงด้วยคุณสมบัติความนูนที่ $f(t)\le t f(1)$ และอื่น ๆ $f$ ไปลบอินฟินิตี้

จากนั้นคุณสามารถทำซ้ำอาร์กิวเมนต์โดยสมมาตรสำหรับพฤติกรรมเป็น $x\rightarrow-\infty$.