ขีด จำกัด ของ $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Question

คำถาม:ขีด จำกัด ของ$\lim\limits_{n \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

สิ่งแรกที่ฉันสังเกตเห็นคือ: $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ และขีด จำกัด จะมีลักษณะบางอย่างของแบบฟอร์ม $(1 + \frac{1}{x})^x$. น่าเสียดายที่ดูเหมือนว่าฉันไม่สามารถนำแนวคิดเหล่านี้ไปใช้เพื่อแก้ไขข้อ จำกัด ได้ ฉันไม่แน่ใจว่าถูกต้องหรือไม่:

$$\ln(y) = \lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}$$

ใช้กฎของ l'hopital ... ?

มีใครยืนยันได้ไหมว่าแนวทางนี้ถูกต้องหรือหากผิดก็ให้แนวทางที่ถูกต้อง

Answer 1

ตั้งแต่ $\frac{\pi}{2} - \arctan(x) =\arctan \left(\frac1x\right)\to 0$ เราสามารถใช้สิ่งนั้นได้

$$\left(1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\right)^x=\left[\left(1+ \arctan\left(\frac1x\right)\right)^{\frac{1}{\arctan\left(\frac1x\right)}}\right]^{x\arctan\left(\frac1x\right)}$$

แล้วอ้างถึงขีด จำกัด มาตรฐาน

หรือเป็นอีกทางเลือกหนึ่งตามความคิดของคุณ

$$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln\left(1+\arctan \left(\frac1x\right)\right)}{\arctan \left(\frac1x\right)}\,\frac{\arctan \left(\frac1x\right)}{\frac1x}$$

แล้วสรุปอีกครั้งตามขีด จำกัด มาตรฐาน

Answer 2

$$A=\left(1+ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\right)^x=\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$$

$$\log(A)=x \log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$

โดย Taylor $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{12 x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log(A)=1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{12 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e \left(1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{8 x^2}+\frac{1}{16 x^3} \right)+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$

แก้ไข

พิจารณา $x=\frac {11}{24}\pi$ (อยู่ค่อนข้างไกล $\infty$) ซึ่งอาร์กแทนเจนต์คือ $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$.

ค่าที่แน่นอนคือ $1.97993$ ในขณะที่นิพจน์ที่ถูกตัดทอนนี้ให้ $1.99516$.

ในความเป็นจริงข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มีขนาดเล็กกว่า $0.01$% ถ้า $x\geq3$