คลาสของทุกชุดเรียงลำดับได้ดีหรือไม่ (ในความหมายที่กว้างขึ้น)
ฉันเห็นคำถามที่เรียงลำดับชั้นเรียนที่เหมาะสมได้ดี และฉันต้องการถามสิ่งต่อไปนี้
คลาสของชุดทั้งหมดเรียงลำดับแบบเชิงเส้นหรือไม่ ฉันหมายถึงสมมติว่าเราใช้ทฤษฎีเซต ZFC (หรือสัจพจน์ ZFC + Tarski (1) อย่างไรก็ตามระบบดังกล่าวมีความไม่สอดคล้องกันหรือไม่?) ทุกจักรวาลได้รับคำสั่งอย่างดีจากทฤษฎีบทของ Zermelo
(2) แต่มีคลาสที่เป็น bijection ระหว่าง Ord และ Set หรือไม่?
ฉันคิดว่าชั้นของจักรวาลนั้นเรียงลำดับตามเส้นตรง เราสามารถรักษาลำดับของจักรวาลล่างและเพิ่มลำดับของความแตกต่างระหว่างเซต - ทฤษฎีระหว่างจักรวาลปัจจุบันกับจักรวาลก่อนหน้า (ซึ่งเป็นชุดเช่นกันเพราะเป็นของจักรวาลถัดไป) (3) ข้อความของฉันถูกต้องหรือไม่?
(4) จะดำเนินการต่อหรือพิสูจน์การจัดลำดับที่ดีของ Set ได้อย่างไร?
สิ่งที่ฉันต้องการคือการพิสูจน์ว่ามีองค์ประกอบ "น้อยที่สุด" ของทุกคลาสที่เหมาะสม
คำตอบ
(1) นักทฤษฎีเซตเกือบทั้งหมดเชื่อในความสอดคล้องของสัจพจน์ของ ZFC และ ZFC + Tarski (หรือเทียบเท่า ZFC ที่มีระดับคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างเหมาะสม) แน่นอนว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องกันได้เนื่องจากทฤษฎีที่ไม่สมบูรณ์ของGödelหากมีความสอดคล้องกัน
(3) ในความเป็นจริงคอลเลกชันของจักรวาล (Tarski-Grothendieck) ทั้งหมดได้รับการจัดลำดับอย่างดี: เป็นรูปแบบ $V_\kappa$ สำหรับบางส่วนที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ $\kappa$และคลาสที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ทั้งหมดเป็นคลาสย่อยของคลาสของลำดับทั้งหมด ดังนั้นพวกเขาจึงได้รับคำสั่งอย่างดี (โปรดทราบว่าหากคุณหมายถึงจักรวาลเป็นเพียงแบบจำลองของ ZFC ก็จะไม่เรียงลำดับแบบเชิงเส้น
อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถพิสูจน์คลาสของเซตทั้งหมดได้ $V$ได้รับคำสั่งจากข้อเท็จจริงนี้แม้ว่าเราจะมีสัจพจน์ของ Tarski ก็ตาม คุณต้องเลือกลำดับที่ดีในแต่ละขั้นตอนและจำเป็นต้องมีตัวเลือกมากมายในชั้นเรียนที่เหมาะสมซึ่งไม่สมเหตุสมผลเว้นแต่เราจะมีความจริงของการเลือกระดับโลก
(2) คลาสของเซตลำดับที่กำหนดได้ทั้งหมด $\mathrm{OD}$ เป็นภาพเชิงอคติของคลาสของลำดับ $\mathrm{Ord}$. ในความเป็นจริงถ้า$X$ เป็นคลาสที่เป็นภาพเชิงอคติของ $\mathrm{Ord}$ภายใต้ฟังก์ชันคลาส bijective ที่กำหนดได้แล้ว$X\subseteq \mathrm{OD}$. ดังนั้นถ้า$V\neq \mathrm{OD}$ดังนั้นจึงไม่มีการคาดเดาที่ชัดเจนระหว่าง $\mathrm{Ord}$ และ $V$.
แม้ว่าเราจะยกเลิกการกำหนดความชัดเจน แต่ก็ไม่มีเหตุผลที่จะถือว่ามีการคาดคะเนระหว่าง $\mathrm{Ord}$ และ $V$. ดูคำตอบที่เกี่ยวข้องใน Mathoverflow
(4) เป็นที่ทราบกันดีว่าเทียบเท่า:
- $V$ มีการสั่งซื้อที่ดี
- มีอคติจาก $\mathrm{Ord}$ ถึง $V$และ
- สัจพจน์ของ Global Choice
มีสัจพจน์บางประการที่บ่งบอกถึงสัจพจน์ของทางเลือกระดับโลก: ตัวอย่างเช่นสัจพจน์ของความสามารถในการสร้างได้พิสูจน์ว่ามีการจัดลำดับที่ดีทั่วโลกที่เป็นที่ยอมรับ อย่างไรก็ตาม ZFC เพียงตัวเดียวไม่ได้พิสูจน์ความจริงของ Global Choice แม้ว่าเราจะถือว่าสัจพจน์ของ Tarski ก็ตาม ดังนั้นจึงไม่มีทางพิสูจน์ Global choice จากทฤษฎีของคุณได้