ค้นหาฟังก์ชันทั้งหมด $f$ ดังนั้น $f(mn) = f(m)f(n)$ และ…

Aug 16 2020

ค้นหาฟังก์ชันทั้งหมด $f : N → N$ ดังนั้น

(ก) $f(2) = 2$

(ข) $f(mn) = f(m)f(n)$ เพื่อทุกสิ่ง $m, n ∈ N$

(ค) $f(m) < f(n)$ สำหรับ $m < n$

ก่อนอื่นฉันเปลี่ยนตัว $m=1,n=2$ ที่จะได้รับ $f(1)=1$. ต่อไปเราจะสังเกตได้ง่ายว่าพลังทั้งหมดของ$2$จะเท่ากับตัวเอง นั่นคือ$f(4)=4,f(8)=8$และอื่น ๆ ตอนนี้ขั้นตอนต่อไปฉันไม่แน่ใจว่าถูกต้อง เช่น$f(4)>f(3)>f(2)$และ $f : N → N$, ฉันคิด $f(3)$ สามารถเป็นได้เท่านั้น $3$แต่อีกครั้งฉันไม่แน่ใจ ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันเชื่อว่าฟังก์ชันเดียวที่เป็นไปได้คือ$f(x)=x$.

ตอนนี้สำหรับส่วนต่อไปของปัญหา -

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเงื่อนไขที่สามไม่ได้ให้กับเรา?

น่าเสียดายที่ฉันไม่มีแม้แต่คำตอบสำหรับปัญหานับประสาวิธีแก้ปัญหา คำแนะนำใด ๆ ที่จะเป็นประโยชน์ขอบคุณ

คำตอบ

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 17:56

ได้ง่ายขึ้น:

ถ้า $f(1)=1$ และ $f(2^n)=2^n$และเพราะคุณมี $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวก็คือ $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ และอื่น ๆ