ค้นหาสูตรสำหรับการแปลงเชิงเส้น [ปิด]
ค้นหาตัวอย่างของสูตรการแปลงเชิงเส้น $\varphi$ ดังนั้น:
$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$
วิธีการแก้ไขปัญหาดังกล่าว? วิธีที่เป็นมาตรฐานที่สุดได้รับการชื่นชม
คำตอบ
$\varphi$ คือการแปลงเชิงเส้น $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$ดังนั้นเมทริกซ์ $A$ เป็นตัวแทน $\varphi$ (ตามเกณฑ์มาตรฐาน) คือ $3$ โดย $4$. ตอนนี้ถ้า$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ จากนั้นทุกอย่างในเคอร์เนลของ $A$ เป็นมุมฉากกับ $(1,-1,6,2)$งั้นมาตั้ง $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$เรายังไม่เสร็จสิ้นเนื่องจากเราไม่ได้ระบุรายการที่เหลือ แต่นี่ไม่ใช่เรื่องยากเพราะเรารู้$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์คอลัมน์ทั้งหมดเป็นสเกลาร์ทวีคูณของ $(2,3,1)$. ตัวอย่างเช่นคอลัมน์แรกเป็นเพียง$1/2$ ครั้ง $(2,3,1)$, ซึ่งจะช่วยให้ $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ เมื่อใช้ตรรกะนี้ต่อไปเราสามารถกรอกข้อมูลสามคอลัมน์สุดท้ายในทำนองเดียวกันโดยให้เรา $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ ตอนนี้เราทำเสร็จแล้ว
สังเกตว่า $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ คือเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดของแบบฟอร์ม $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ ที่ไหน $y,z$ และ $t$วิ่งทับจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้นเลือกแผนที่เชิงเส้น$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ ดังนั้น $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$ และ $\varphi(v) = (2,3,1)$ สำหรับบางคน $v \in \mathbb R^4$ ซึ่งไม่ได้อยู่ในช่วงของ $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$
เมทริกซ์ต่อไปนี้อธิบายถึงสิ่งนี้: $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.