คือ $C^{*}$- พีชคณิตเป็นวิธีที่ทันสมัยที่สุดในการศึกษา QFT?
ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้าน QFT หรือ $C^{*}$-algebras แต่ฉันกำลังพยายามเรียนรู้พื้นฐานของ QFT ในหนังสือ / เอกสารและวัสดุอื่น ๆ ทั้งหมดที่ฉันรู้จัก QFT ได้รับการศึกษาโดยใช้การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีการแจกแจงเป็นหลัก แต่ฉันรู้ว่ามีการใช้โครงสร้างพีชคณิตบางอย่างด้วยและในบริบทนี้$C^{*}$-algebras ดูเหมือนจะเป็นเครื่องมือที่ทันสมัยที่สุด ดังนั้นนักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์อย่างฉันควรรู้อะไรบ้างเกี่ยวกับแนวทางเหล่านี้ใน QFT และกลศาสตร์เชิงสถิติ บทบาทของ$C^{*}$-algebras และวิธีพีชคณิตอื่น ๆ ในทฤษฎีเหล่านั้น? อะไรคือปัญหาที่เหมาะสมกว่า ถ้าฉันต้องการเรียน QFT ฉันต้องเรียนรู้ไหม$C^{*}$-พีชคณิต? มีปัญหาที่วิธีการพีชคณิตไม่เข้ากันหรือไม่? มีปัญหาหรือไม่ที่แนวทางใดจะเกิดผล? สิ่งที่สูญเสียไปโดยไม่ทราบโครงสร้างพีชคณิตเหล่านี้?
เพิ่ม:ฉันทำงานกับกลศาสตร์ทางสถิติที่เข้มงวด แต่ฉันพยายามเรียนรู้ QFT บางอย่างเพราะ ... ทั้งสองส่วนนี้เกี่ยวข้องกันในบางระดับ อย่างไรก็ตามฉันยังไม่รู้ว่าต้องเรียนรู้อะไรเกี่ยวกับ QFT มากหรือน้อยเพียงใด ฉันมีพื้นฐานในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีการแจกแจง แต่ไม่มีใน$C^{*}$-พีชคณิต. ในฐานะนักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์จะมีประโยชน์มากในการมองเห็นภาพรวมกล่าวคือปัญหาที่เราพยายามแก้ไขใน QFT คืออะไรและแต่ละแนวทางเหล่านี้เข้ามามีบทบาทอย่างไร ฉันคิดว่าเครื่องมือเหล่านี้สามารถใช้ได้กับปัญหาประเภทต่างๆหรือแม้แต่พื้นที่ย่อยที่แตกต่างกันของทฤษฎี แต่ฉันไม่รู้แน่ชัด
คำตอบ
งานปริญญาเอกของฉันใช้ C * -algebras ค่อนข้างหนักดังนั้นฉันคิดว่าฉันสามารถอ้างสิทธิ์ความเชี่ยวชาญบางอย่างได้ที่นั่น แต่ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญใน QFT นั่นจะเป็นมุมมองหลักของคำตอบของฉัน
จุดเริ่มต้นที่ดีสำหรับการสนทนาครั้งนี้คือทฤษฎีบทสโตน - ฟอนนอยมันน์ซึ่งเป็นผลลัพธ์พื้นฐานทั้งในอัลเกบราสตัวดำเนินการและกลศาสตร์ควอนตัม การตั้งค่าโดยทั่วไปเป็นหลักการความไม่แน่นอนของ Heisenberg ซึ่งยืนยันว่าการดำเนินการวัดตำแหน่ง$x$ และโมเมนตัม $p$ ของระบบควอนตัมอย่าเดินทาง:
$$[x,p] = 2\pi i h$$
คำถามทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมในประวัติศาสตร์ยุคแรกคือวัตถุชนิดใด$x$ และ $p$เหรอ? นักฟิสิกส์ต้องการให้พวกเขาเป็นตัวดำเนินการปรับตัวเองในบางพื้นที่ของฮิลเบิร์ต แต่คุณสามารถพิสูจน์ได้อย่างเข้มงวดว่าไม่มีตัวดำเนินการที่มีขอบเขตคู่ใดที่มีคุณสมบัตินี้ ผลลัพธ์นี้เป็นของทฤษฎีการเป็นตัวแทนของ Lie algebras - โดยพื้นฐานแล้วพีชคณิตโกหกที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสองตัวและความสัมพันธ์ข้างต้นไม่มีการแสดงโดยตัวดำเนินการปรับตัวเองที่มีขอบเขตบนพื้นที่ฮิลเบิร์ต
ความคิดของสโตนและฟอนนอยมันน์คือการมุ่งเน้นไปที่กลุ่มโกหกมากกว่าพีชคณิตโกหก ความสัมพันธ์ข้างต้นเป็นอนุพันธ์ที่ 0 ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างตัวดำเนินการวิวัฒนาการของเวลา$U(t)$ และ $V(s)$:
$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$
กลุ่มโกหกที่สร้างขึ้นโดย $U$ และ $V$เรียกว่ากลุ่มไฮเซนเบิร์กและทฤษฎีบทสโตน - ฟอน - นอยมันน์ยืนยันว่ากลุ่มนี้มีการแสดงแบบรวมที่ไม่ซ้ำกันบนพื้นที่ฮิลเบิร์ตจนถึงความเท่าเทียมกัน (และคำคุณศัพท์บางคำที่ฉันจะไม่เข้าไปที่นี่) สิ่งนี้เป็นพื้นฐานที่ดีสำหรับกลศาสตร์ควอนตัมพื้นฐานซึ่งรวมภาพของไฮเซนเบิร์กและชเรอดิงเงอร์ไว้ในสัจพจน์ชุดเดียว
ในการจัดการระบบควอนตัมที่ซับซ้อนมากขึ้นเราจำเป็นต้องพูดคุยกับผู้ปฏิบัติงานจำนวนมากขึ้นเพื่อตอบสนองความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น นี่คือวิธีการทำงานทั่วไป:
- เริ่มต้นด้วยกลุ่มที่กะทัดรัดในท้องถิ่น $G$; สำหรับทฤษฎีบท Stone-von-Neumann ดั้งเดิม$G = \mathbb{R}$.
- การแปลงฟูเรียร์เป็นตัวกำหนดและไอโซมอร์ฟิซึม $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, ที่ไหน $C^*(G)$ คือกลุ่ม C * -algebra และ $\hat{G}$ คือ Pontryagin dual
- ไอโซมอร์ฟิซึมดังกล่าวเทียบเท่ากับการแสดงพีชคณิตแบบผสมข้ามผลิตภัณฑ์ $C_0(G) \rtimes G$.
- ค่าที่ไม่เกี่ยวข้องทั้งหมดของ C * -algebra นี้เทียบเท่าหน่วย
ตอนนี้เรามีกลศาสตร์ควอนตัมสำหรับระบบที่มีอนุภาคจำนวนมาก แต่ QFT ล่ะ? เหตุผลพื้นฐานที่ QFT ยากอย่างที่ฉันเข้าใจก็คือทฤษฎีบทของสโตนฟอน - นอยมันน์ไม่เป็นความจริงอีกต่อไป
สำหรับกลศาสตร์ควอนตัมธรรมดาช่องว่างเฟสคลาสสิกคือท่อร่วมมิติที่ จำกัด ตัวอย่างเช่นสเปซเฟสคลาสสิกของอนุภาคเดียวที่บินรอบ ๆ $\mathbb{R}^3$ คือ $\mathbb{R}^6$. แอนะล็อกคลาสสิกของพื้นที่เฟสในทฤษฎีสนามควอนตัมคือช่องว่างของเส้นทางใน$\mathbb{R}^3$ซึ่งเป็นความหลากหลายของมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าตัวดำเนินการจำนวนมากที่มีความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนจำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและกลุ่มโกหกมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่สอดคล้องกันในขอบเขตที่มีอยู่จริงมีทฤษฎีการแสดงที่ซับซ้อนกว่ามาก
ตอนนี้ฉันสามารถลองตอบคำถามของคุณได้ Operator algebras ถูกคิดค้นขึ้นมาเพื่อเป็นแบบจำลองที่ดีสำหรับกลศาสตร์ควอนตัม คุณสมบัติที่ดีที่โมเดลนี้มีนั่นคือมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้เกิดความเท่าเทียมกัน - ไม่เป็นจริงใน QFT อีกต่อไป ดังนั้นเป้าหมายหนึ่ง (โดยนัย) ของการทำงานจำนวนมากใน QFT คือการรับมือกับสถานการณ์นี้และค้นหารากฐานที่ดีกว่า ฉันไม่รู้ว่า C * -algebras เป็นวิธีที่ดีที่สุดหรือทันสมัยที่สุดในการคิดเกี่ยวกับ QFT หรือไม่ - อาจจะไม่ใช่ - แต่จุดเริ่มต้นที่ดีสำหรับนักเรียนคือการเรียนรู้ทฤษฎีบทสโตนฟอน - นอยมันน์ในลักษณะทั่วไปที่สมเหตุสมผลเนื่องจากเราทำได้ ตำหนิความยากของ QFT อย่างมากเมื่อไม่มี
อีกครั้งคำตอบชั่วคราวจากผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ: น่าจะเป็นคนที่เป็นอาจารย์เจไดตัวจริงในสาขาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ / ผู้ดำเนินการ Algebras จะเข้ามา
ใน QM แบบคลาสสิกหนึ่งเริ่มต้นจากพื้นที่ของรัฐฮิลเบิร์ต $H$และสร้างจากที่นั่นโดยดูตัวดำเนินการประเภทพิเศษที่ทำหน้าที่ $H$(รวมกันสำหรับ simmetries และฤๅษีสำหรับสังเกตการณ์) ดังนั้นในแง่หนึ่งแล้ว algebras ตัวดำเนินการจึงอยู่ที่นั่นตั้งแต่เริ่มต้นแม้ว่าใน QM แบบคลาสสิกจะมีลักษณะและให้ความรู้สึกราวกับว่าเอนทิตีพื้นฐานคือสถานะ (ควอนตัม) และสิ่งที่สองคือกระบวนการ (ตัวดำเนินการ)
แต่ฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องยุติธรรมที่จะบอกว่าการเคลื่อนไหวได้ไปสู่การกลับคำสั่งโดยเริ่มจากพีชคณิตของตัวดำเนินการนามธรรมแล้วสร้างแบบจำลองชุดของสถานะโดยใช้คู่ Gelfand ที่น่าอับอาย สิ่งที่ฉันเพิ่งร่างคือแชทซูเปอร์มาร์เก็ตเกี่ยวกับทฤษฎีสนามพีชคณิตควอนตัม (คุณสามารถหาคอนเดนเสทได้ที่นี่ )
คุณอาจถามว่าทำไม: ฉันไม่แน่ใจ แต่สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าการเคลื่อนไหวไปสู่กระบวนการที่ตรงข้ามกับรัฐนั้นสมเหตุสมผล
- ในทางคณิตศาสตร์ (ตัวอย่างเช่นมันเชื่อมต่อกับNon-Commutative Geometry of Connes ซึ่งหนึ่งทำงานโดยตรงบนอัลเกบราที่ไม่สับเปลี่ยนราวกับว่าพวกมันเป็นอัลเกบราของฟังก์ชันบนพื้นที่ว่างที่ไม่สับเปลี่ยนผี) algebras นั้นดีพอที่จะจับภาพโทโพโลยีและรูปทรงเรขาคณิตของพื้นที่โกสต์ได้และยังให้เครื่องจักรที่เป็นนามธรรมมากขึ้น
- ทางร่างกาย. มีความตระหนักเพิ่มขึ้นว่า QM / QFT เป็นเรื่องเกี่ยวกับกระบวนการ / ปฏิสัมพันธ์แทนที่จะเป็นโลกที่ระบบดำรงอยู่ด้วยตัวเอง ดูตัวอย่างเช่นการตีความเชิงสัมพันธ์ของ Rovelli เพื่ออ้างอิงเพียงตัวเลือกเดียว
ADDENDUM: C * algebras เป็นเครื่องมือใหม่ล่าสุดสำหรับ QFT หรือไม่? คำตอบคือ QFT ใดที่คุณนึกถึง? ตัวอย่างเช่นใน Quantum Gravity คำตอบคือไม่แน่นอน มีผู้คนเล่นกับสารพัดทุกประเภทตั้งแต่ทฤษฎีหมวดหมู่ที่สูงขึ้นไปจนถึงรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ได้กล่าวถึงแล้วไปจนถึง ... อะไรก็ได้ที่สวยมากภายใต้ดวงอาทิตย์และแม้แต่อีกเล็กน้อย