ความหมายของ homomorphism แบบ Coboundary นี้สำหรับ hypercohomology แบบกลุ่มคืออะไร?

Jan 11 2021

$\require{AMScd}$ ปล่อย $\Gamma=\{1,\gamma\}$ เป็นกลุ่มของคำสั่ง 2. ในปัญหาของฉันจาก Galois cohomology ของกลุ่ม reductive จริงฉันมาถึงแผนภาพสับเปลี่ยน $\Gamma$-modules (กลุ่ม abelian ที่มี $\Gamma$-action) \ begin {สมการ *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @ @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @ @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {สมการ *}ซึ่งแถวตรง แต่ไม่ใช่คอลัมน์ (และ$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). แถวบนและล่างของแผนภาพแบ่งตามรูปแบบบัญญัติ:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ และอุปกรณ์ต่อเหล่านี้เข้ากันได้: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ สำหรับ $q_3\in Q_3$. ฉันพิจารณากลุ่ม hypercohomology ของTate$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ โดยที่ทั้งสองคอมเพล็กซ์สั้นเป็นองศา $(-1,0)$.

ด้านล่างฉันสร้าง "ด้วยมือ" homomorphism ที่เป็นที่ยอมรับ $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

คำถาม. ฉันจะได้รับโฮโมมอร์ฟิสซึ่มนี้จากทฤษฎีทั่วไปได้อย่างไร?

ข้อสังเกต. สำหรับกลุ่ม$\Gamma$ของลำดับที่ 2 (และสำหรับกลุ่มวัฏจักรใด ๆ$\Gamma$) cohomology ของ Tate และ hypercohomology เป็นช่วงที่มีช่วงเวลา 2 ดังนั้นของเรา $\delta$ คือแผนที่ $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ โดยที่ทั้งสองคอมเพล็กซ์มีหน่วยเป็นองศา $(-2,-1,0)$.

การก่อสร้าง. เราเริ่มต้นด้วย$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. ที่นี่$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$นั่นคือ\ เริ่ม {สมการ} q_3 \ ใน Q_3, \ quad x_3 \ ใน X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3) \ tag {$**$} \ end {สมการ}เรายกตามรูปแบบบัญญัติ $ q_3$ ถึง $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ และเรายก $ x_3$สำหรับบางคน $ x_2\in X _2$. พวกเราเขียน$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ ที่ไหน $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ และ $ p_1\in P_1$. เราตั้ง$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ ตั้งแต่โดย $(*)$ เรามี $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ เราเห็นว่า $ x_1\in X _1$. เราคำนวณ:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ โดย $(**)$. นอกจากนี้\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} โดย $(*)$ และ $(**)$. ด้วยประการฉะนี้$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ เราเห็นว่า $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. เราตั้ง$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ การตรวจสอบอย่างตรงไปตรงมาแสดงให้เห็นว่าแผนที่ $\delta$ เป็น homomorphism ที่กำหนดไว้อย่างดี

คำตอบ

3 მამუკაჯიბლაძე Jan 12 2021 at 00:27

ฉันเชื่อว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการจัดการสิ่งนี้อยู่ในระเบียบแบบแผนของหมวดหมู่สามเหลี่ยม คุณสามารถทำได้หลายวิธี: ทำงานกับหมวดหมู่ที่ได้รับที่ไม่ถูกผูกไว้หรือ (อาจง่ายกว่า) แทนที่แต่ละโมดูล$M$ ด้วย $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ ที่ไหน $\mathcal R$ เป็นความละเอียดที่สมบูรณ์สำหรับ $\Gamma$นั่นคือคอมเพล็กซ์ 2 คาบมาตรฐานที่ไม่มีขอบเขต $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$ของ $\Gamma$- โมดูล

ปล่อยแล้ว $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่แน่นอนในหมวดหมู่สามเหลี่ยมตามอำเภอใจและปล่อยให้ $Q_3\to X_2\to P_1$เป็น morphisms โดยพลการโดยมีศูนย์คอมโพสิต ปล่อย$P$ เป็นเส้นใยของ $X_1\to P_1$ และปล่อยให้ $Q$ เป็นเพื่อนร่วมงานของ $Q_3\to X_3$. เป้าหมายของเราคือสร้างจากทั้งหมดที่เป็นแผนที่บัญญัติ$Q\to\Sigma P$. ปรากฎว่ามีแผนที่ดังกล่าวซึ่งยิ่งไปกว่านั้น isomorphism ถ้าและเฉพาะในกรณีนี้$Q_3\to X_2\to P_1$ เป็นที่แน่นอน

ตั้งแต่การประกอบ $Q_3\to X_2\to P_1$ เป็นศูนย์แผนที่ $X_2\to P_1$ ปัจจัยผ่าน cofiber ของ $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$และแผนที่ $Q_3\to X_2$ ปัจจัยผ่านเส้นใย $P_0\to X_2$ ของ $X_2\to P_1$. ดังนั้นทั้งหมด$X_1\to P_1$ ปัจจัยในคอมโพสิต $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$ในขณะที่ $Q_3\to X_3$ ปัจจัยในคอมโพสิต $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.

ก่อนอื่นโปรดทราบว่าในสถานการณ์เหล่านี้ cofiber ของ $Q_3\to P_0$ isomorphic เป็นเส้นใยของ $Q_0\to P_1$; แสดงโดย$H$, คอมโพสิต $P_0\to H\to Q_0$ คือคอมโพสิต $P_0\to X_2\to Q_0$.

เราได้รับแปดอินสแตนซ์ของสัจพจน์แปดหน้าโดยบอกเราว่าสำหรับคอมโพสิตต่างๆ $f\circ g$ มีรูปสามเหลี่ยมที่แน่นอน $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ และ $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. พูดอย่างเคร่งครัดไม่จำเป็นต้องใช้ทั้งหมด แต่เพื่อความสมบูรณ์ให้ฉันแสดงรายการทั้งหมด

คู่ที่ประกอบได้ ให้สามเหลี่ยมที่แน่นอน
$Q_3\to P_0\to X_2$ $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$ $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$ $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$ $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$ $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$ $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

หากต้องการรวมทั้งหมดไว้ในแผนภาพเดียว - ในสิ่งต่อไปนี้เส้นที่มีวัตถุสามชิ้นบนวัตถุเหล่านี้แสดงถึงรูปสามเหลี่ยมที่แน่นอน ทุกอย่างเดินทาง