ความหมายของปริมาตรของระบบไดนามิกคืออะไร
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemอธิบายว่าปริมาตรของพื้นที่สถานะหรือพื้นที่เฟสไม่แปรผัน เอกสารประกอบการบรรยายหัวข้อ "11 Strange Attraors and Lyapunov dim" นำมาจากหนังสือของ Strogatz แสดงใน eq (2) การแปลงพิกัดของปริมาตร ฉันต้องการทราบว่าการพิสูจน์ที่แสดงในบันทึกหมายความว่าปริมาณของระบบที่มีตัวดึงดูดแปลก ๆ ไม่แปรผันภายใต้การเปลี่ยนแปลงบางประเภทเช่นการแปลงพิกัด โดยการประสานงานการแปลงเราสามารถสร้างการฟื้นฟูพื้นที่เฟสและการใช้ว่าเราจะได้รับattractor แปลก เมื่อเลือกการตั้งค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสมสำหรับระบบไดนามิกที่วุ่นวายเราจะเห็นสิ่งแปลก ๆ แต่ฉันไม่สามารถเข้าใจการพิสูจน์ได้
คำถาม:ใครช่วยแสดงวิธีพิสูจน์ว่าไดรฟ์ข้อมูลสำหรับระบบที่มีตัวดึงดูดแปลก ๆ ไม่แปรผันกับการเปลี่ยนแปลงและความหมายนี้
ปริมาณของตัวดึงดูดแปลก ๆ หดหรือขยายหรือไม่?
UPDATE: 18 ส.ค.
จากการสนทนาภายใต้ความคิดเห็นนี่คือสิ่งที่ฉันสามารถเขียนจากสิ่งที่ฉันเข้าใจได้ ขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือในการเขียนหลักฐานให้เสร็จสิ้นอย่างสวยงาม
หลักฐาน: ปริมาตรของตัวดึงดูดแปลก ๆ ที่แสดงโดยระบบในพลวัตที่วุ่นวายนั้นไม่แปรผันภายใต้การเปลี่ยนแปลงบางอย่างและเป็นตัววัดหรือตัวชี้วัด
ความคิดของฉันคือให้ $n_a$ เป็นมิติตัวดึงดูดและ $d$ เป็นมิติการฝังและตัวดึงดูดมีปริมาตร $v$ ด้วยมิติตัวดึงดูด $n_a$. หากมีอนุกรมเวลาที่มีมูลค่าสเกลาร์เราสามารถสร้างตัวดึงดูดใหม่ได้$d$ พื้นที่เฟสมิติโดยวิธีการฝังแบบหน่วงเวลาของ Takens $d \ge 2n+1$ ที่ไหน $n$คือมิติของระบบที่สังเกตได้ เราไม่มีความรู้เกี่ยวกับมูลค่าที่แท้จริงของ$n_a$. เนื่องจากสำหรับไดรฟ์ข้อมูลระบบกระจาย$v \le 0$ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ $n \le n_a$และมีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจากขนาดของมันน้อยกว่า $n_a$. ดังนั้นระบบกระจายใด ๆ จะรักษาระดับเสียงของตัวดึงดูดซึ่งเป็นศูนย์ สำหรับการเปลี่ยนแปลงของพิกัดเนื่องจากตัวดึงดูดเป็นชุดศูนย์การวัดภาพของตัวดึงดูดภายใต้แผนที่เรียบใด ๆ ก็จะวัดเป็นศูนย์เช่นกัน
ตอนนี้ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าตัวดึงดูดเป็นหน่วยวัดที่ตั้งค่าเป็นศูนย์และเป็นเมตริกเหมือนการวัดของ Lebesgue ใครช่วยกรุณาเขียนหลักฐานนี้อย่างเป็นทางการได้ไหม ขอขอบคุณ.
คำตอบ
เมื่อพูดว่าปริมาตรหมายถึง `` การวัด '' จริงๆ การวัดช่องว่าง$X$ เป็นฟังก์ชัน $\mu$ ที่กำหนดความยาว (หรือพื้นที่หรือปริมาตรหรือความน่าจะเป็น - ช่องว่างเฉพาะ $X$ หรือบริบทมักจะกำหนดว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับสิ่งที่วัดได้คือการวัดผล) เป็นเรื่องที่ "ดี" $X,$ โดยที่ "ดี" หมายถึงมีคนเลือกชุดย่อยของ $X$ที่เราสามารถวัดได้ สิ่งเหล่านี้เรียกว่าชุดที่วัดได้
แผนที่ $T : X\rightarrow X$ กล่าวกันว่า $\mu$-invariant if (a) เมื่อใดก็ตาม $S$ สามารถวัดผลได้ดังนั้นก็คือ $T^{-1}(S)$และ (b) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ เมื่อใดก็ตาม $S$ สามารถวัดได้
สำหรับวิธีการตรวจสอบนั้นขึ้นอยู่กับรายละเอียดเป็นอย่างมาก เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์โดยทั่วไปอย่างไม่น่าเชื่อก็คือคุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเงื่อนไข (a) หรือ (b) ถือไว้สำหรับทุกส่วนย่อยที่วัดได้ - ถ้าคุณตรวจสอบ (a) และ (b) ในกลุ่มของชุดที่ `` สร้าง '' คอลเลกชันของชุดที่วัดได้แล้วคุณสามารถสรุปได้ทุกที่ ตัวอย่างเช่นถ้าพื้นที่ของคุณคือ$X = [0, 1]$ ด้วย "Lebesgue measure" ตามปกติจะกำหนดส่วนย่อยของ $X$ มันยาวพอที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น $T$ รักษามาตรการของช่วงเวลา
สองสิ่ง:
- สังเกตหมายเหตุภายใต้สมการ 2:
ระบบ Dissipative มีตัวดึงดูดในขณะที่ระบบสงวนปริมาตรไม่สามารถมีตัวดึงดูดหรือตัวขับไล่ได้
นี่เป็นความจริงในความหมายที่ "ปริมาตร" หมายถึงการวัด Lebesgue กล่าวคือเป็นคำจำกัดความปกติของปริมาตร $\mathbb{R}^n$. Attractors จำเป็นต้องมีขนาดที่ต่ำกว่าพื้นที่ของเฟสดังนั้นปริมาตรของมัน (ในความหมายของ Lebesgue) จะต้องเป็น 0 เช่นปริมาตรของพื้นผิวใน$\mathbb{R}^3$เป็น 0 เนื่องจากพื้นผิวเป็น 2 มิติ บางทีการรักษาระดับเสียงนี้อาจเป็นเรื่องเล็กน้อยเพราะตัวดึงดูดจำเป็นต้องมีปริมาตรของ Lebesgue เป็นศูนย์
ดูเหมือนว่าจะตอบคำถามของคุณได้ อย่างไรก็ตามพลวัตของตัวดึงดูดแปลก ๆ มักจะถูกต้องตามหลักสรีรศาสตร์ซึ่งเป็นส่วนที่คุณกำลังอ่านในบทความวิกิพีเดียแรก โดยทั่วไปแล้วพลวัตของ Ergodic จะมีสิ่งที่เรียกว่าการวัดค่าคงที่ซึ่งหมายความว่ามีความคิดเกี่ยวกับปริมาตร (การวัด) บางอย่างซึ่งคงไว้โดยพลวัต (ค่าคงที่) ดังนั้นหากสามารถกำหนดพารามิเตอร์ของตัวดึงดูดเช่นค้นหาการเปลี่ยนแปลงของพิกัดจาก$\mathbb{R}^n$ ไปยังเครื่องดึงดูดแล้ว "ปริมาตร" ในความหมายของการวัดค่าคงที่ของตัวดึงดูดและพลวัตจะถูกเก็บรักษาไว้