ความหนาแน่นของ Borel ตั้งไว้ที่ 0

Aug 17 2020

ทฤษฎีบทความหนาแน่นของ Lebesgue กล่าวว่าถ้า $E$ เป็นชุดที่วัดได้ของ Lebesgue จากนั้นคือความหนาแน่นของ $E$ ในเกือบทุกองค์ประกอบของ $E$ คือ 1 และความหนาแน่นของ $E$ เกือบทุกองค์ประกอบไม่ได้อยู่ใน $E$ คือ 0

อย่างไรก็ตามมันเป็นเรื่องจริงสำหรับแต่ละคน $t$ อย่างเคร่งครัดระหว่าง 0 ถึง 1 มีชุด Borel $E$ ที่มีความหนาแน่น $t$ ที่ 0?

ฉันไม่รู้ว่าจะสร้างชุดดังกล่าวสำหรับค่าสุ่มเป็นอย่างไร $t$. ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม

คำตอบ

2 tomasz Aug 17 2020 at 02:11

ใช่. ในมิติ$\geq 2$ นี่เป็นเรื่องเล็กน้อยดังนั้นฉันถือว่าเรากำลังดูเส้นจริง

ได้รับ $n>0$ และ $\alpha\in [0,1]$ใส่ $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ และ $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

ใส่ $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. จากนั้นความหนาแน่นของ$U_{n,\alpha}$ ที่ $0$ คือว่า $\alpha$. หากต้องการดูสิ่งนี้ให้เขียน$m_r$ สำหรับ $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ และโปรดทราบว่า:

  • ถ้า $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$แล้ว $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • ถ้า $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$แล้ว $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
  • $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.
2 zhw. Aug 17 2020 at 02:01

คำแนะนำ: ให้ $I_n=(1/(n+1),1/n).$ ปล่อย $L_n$ มีความยาวของ $I_n.$ ออกจาก $I_n$ เราเลือกช่วงเวลาย่อย

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ คือ "$t$- กัด "ของ $I_n.$ ชุด $E=\cup J_n.$ ถ้าฉันคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้ถูกต้องเราจะมี

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 01:26

พิจารณาลำดับของตัวเลข $r_n \searrow 0$ ดังนั้น $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. ปล่อย$\theta$ เป็นมาตรการรักษาแผนที่จาก $(0,r_1]$ ถึง $\mathbb R^2$ ที่ต้องใช้ $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ ถึง $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. จากนั้นให้$A$ เป็น 'ชิ้นส่วนของพาย' ที่มีจุดเริ่มต้นใน $\mathbb R^2$มีมุม $\alpha$ที่มุม. แล้ว$\theta^{-1}(A)$ จะเป็นชุดที่มีความหนาแน่น $\alpha/(4\pi)$ ที่ $0$.

สิ่งนี้จะให้ความหนาแน่น $0 \le t \le \frac12$. ที่จะได้รับ$\frac12 < t \le 1$เพียงแค่เพิ่ม $(-\infty,0]$.