ความหนาแน่นและการแจกแจงของโซลูชันที่เป็นตัวเลขหรือที่รู้จักกันในเชิงวิเคราะห์ของ Riemann $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Question

เราทราบดีว่าการคาดเดาเกี่ยวกับสมมติฐานของ Riemann นั้นเกี่ยวกับเลขศูนย์ที่ไม่สำคัญ $$(1/2 + r i)$$ สำหรับบางคน $r \in \mathbb{R}$ ของฟังก์ชัน Riemann zeta

คำถามของฉันคือรู้มากแค่ไหนเกี่ยวกับความหนาแน่นและการแจกแจงของคำตอบที่เป็นตัวเลขหรือเชิงวิเคราะห์ที่รู้จักกัน$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

ฉันพบโพสต์ที่เกี่ยวข้อง แต่เมื่อประมาณ 8 ปีที่แล้วเราอาจจะมีการอัปเดตที่ดีกว่านี้

ค่าเฉลี่ยความหนาแน่นของเลขศูนย์ที่ไม่สำคัญของฟังก์ชันซีตา Riemann

Answer 1

ในความเห็นที่ต่ำต้อยของฉันเอกสารสำคัญคือเอกสารที่ตีพิมพ์ในปีพ $2014$โดยG.Franca และ A.LeClair โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาให้การประมาณที่ดีและเรียบง่าย (สมการ$(229)$ ในกระดาษที่เชื่อมโยง) $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ ที่ไหน $W(.)$ คือฟังก์ชันแลมเบิร์ต

การคำนวณซ้ำบางส่วนสำหรับ $n=10^k$, เรามี $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

Answer 2

Mathematica 8.0.1 การหาค่าประมาณของ Eric Weisstein สำหรับคะแนน Gram:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

ดัดแปลง Mathematica 8.0.1 มาจากการประมาณของ Eric Weisstein ที่ให้คะแนน Franca-LeClair:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

ความยากพื้นฐานในการหา asymptotic ที่แม่นยำสำหรับศูนย์ Riemann zeta คือฟังก์ชัน Riemann-Siegel theta ไม่สามารถกลับด้านได้ ผู้ใช้ชี้ให้ฉันเห็นอีกครั้งว่า asymptotic ที่แน่นอนสำหรับศูนย์ Riemann zeta เป็นที่รู้จักกันมานานประมาณ 120 ปีแล้วและ asymptotic ที่แน่นอนคือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน Riemann-Siegel theta ตามวิกิพีเดียภาษาฝรั่งเศส