ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยมีโรค $X$

Aug 18 2020

โรค $X$ มีอยู่ใน $0.1$% ของผู้ป่วยที่ได้รับการทดสอบ การทดสอบเป็นบวก$99$% ของเวลาที่ผู้ป่วยมีโรค $X$. หากคุณได้รับการตรวจหาโรคและผลการทดสอบในเชิงบวกแสดงว่าคุณเป็นโรค$X$ คือ $10$%. ความเป็นไปได้ที่คนจะทดสอบในเชิงบวกคืออะไรเมื่อพวกเขาไม่มีโรค$X$เหรอ?

สิ่งที่ฉันได้ลอง:

ปล่อย $A$ เป็นความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยมีโรค $X$และ $B$ เป็นความน่าจะเป็นที่พวกเขาทดสอบในเชิงบวก

แล้ว $P(A)=0.001$ซึ่งหมายความว่า $P(\bar{A})=0.099$ และ $\displaystyle P(B/A)=0.99$. ตอนนี้เราต้องหา$\displaystyle P(B/\bar{A})$.

เรามีที่นี่ด้วย: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$

ดูเหมือนว่าเราสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเบย์ได้ แต่ฉันไม่เข้าใจวิธีการใช้สูตรที่นี่

คำตอบ

1 Jared Aug 18 2020 at 09:50

การใช้ทฤษฎีบทของ Baye ความน่าจะเป็นของการทดสอบเชิงบวกคือ:

\ begin {align *} P (\ text {disease} | \ text {+ test}) = & \ frac {P (\ text {+ test} | \ text {disease}) P (\ text {disease}) } {P (\ text {+ test})} \\ P (\ text {+ test}) = & \ P (\ text {+ test} | \ text {disease}) P (\ text {disease}) + P (\ text {+ test} | \ text {$\neg$โรค}) P (\ text {$\neg$โรค}) \\ = & \ .99 * 0.001 + 0.999x \ end {align *}

เราสามารถค้นหา $x = P(\text{+test}|\text{$\ ลบ$disease})$ โดยการแก้สมการต่อไปนี้ (ฉันกำลังผสมเปอร์เซ็นต์กับทศนิยม):

\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}

ความหมายความน่าจะเป็นของการทดสอบในเชิงบวกหากไม่มีโรคนั้นอยู่ที่ประมาณ $0.89\%$.