ความสำคัญของการประมาณ $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $

Aug 17 2020

เพื่อที่จะแสดงให้เห็นว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดเล็กของการเคลื่อนที่ของ Brownian นั้นเป็นอย่างไร $\frac{1}{2}\Delta$ในคำตอบนี้ก่อนอื่นเขาเขียนสมการ$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ จากนั้นเขาได้รับการประมาณดังต่อไปนี้: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ จากนั้นจึงเป็นที่ถกเถียงกันว่า "จาก (1) เราเห็นสิ่งนั้น $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ เป็นคำตอบ (เฉพาะ) ของสมการความร้อน "

ตามที่กล่าวไว้ที่นี่เราไม่สามารถแทนที่การประมาณในสมการความร้อนได้ ถ้าเป็นเช่นนั้น

  1. ทำไมผู้เขียนกระทู้ถึงทำประมาณนี้ เขาใช้การประมาณนี้ในการพิสูจน์อย่างไร ถ้าเขาไม่ใช้มัน
  2. ใครสามารถอธิบายเพิ่มเติมข้อโต้แย้งของเขาว่า: "จาก (1) เราเห็นว่า $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ คือคำตอบ (เฉพาะ) ของสมการความร้อน ... "?

คำตอบ

2 snar Aug 16 2020 at 23:37

ความสับสนของคุณอาจเกิดขึ้นเนื่องจากคุณคิดว่าการประมาณนั้นทำหน้าที่สร้างคำตอบสำหรับสมการความร้อน สิ่งที่เกิดขึ้นคือคุณเริ่มต้นด้วยวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) บางส่วนและการประมาณทำหน้าที่ระบุ PDE นี้เป็นสมการความร้อน ไม่มีการพิสูจน์ใด ๆ ในโพสต์ที่คุณเชื่อมโยง พวกเขาเป็นเพียงข้อโต้แย้งอย่างเป็นทางการเพื่อช่วยพัฒนาสัญชาตญาณ

เริ่มต้นด้วยคำถามที่สองของคุณ สมการ (1) คือ$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$โดยนิยาม ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ การตั้งค่า $u(t,x) = P_t f(x)$ ในสมการ (1) เรามี $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ ที่นี่ $A$ เป็นตัวดำเนินการที่แตกต่างกันดังนั้น $u(t,x)$แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นบางประการ มันคือสมการเชิงอนุพันธ์ใด

การคาดเดาว่ามันคือสมการเชิงอนุพันธ์ใดการประมาณ$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$ถูกนำมาใช้. วางสิ่งนี้โดยตรงที่ด้านซ้ายมือของ ($\spadesuit$) คุณจะพบ $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ จากความสัมพันธ์นี้คุณสามารถเดาอะไรได้ $A$ คือ?