ความสามารถในการนับชุดของ $t$ ดังนั้น $E-tB$ ไม่ได้ฉีด
พิจารณาพื้นที่ของ Hilbert ที่แยกออกจากกันได้ $\mathcal H$ และตัวดำเนินการต่อเนื่องแบบปรับขนาดกะทัดรัดสองตัว $E,B:\mathcal H \to \mathcal H$. $E$ เป็นแบบฉีด
ตอนนี้พิจารณาชุด $$\tau = \{t\in [0,1]: E-tB\;\; \mathrm{is}\;\mathrm{NOT}\; \mathrm{injective} \}\,.$$
ฉันคิดว่าความสำคัญของ $\tau$ มากที่สุดนับได้
ทุกอย่างชัดเจนถ้าง่ายถ้า $E$ และ $B$แบ่งปันพื้นฐานของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ แท้จริงแล้วสำหรับทุกคน$t$ $E-tB$ มีขนาดกะทัดรัดและปรับตัวเองได้เราสามารถเขียนได้ $$E-tB = \sum_{n=0}^\infty (\lambda_n - t\mu_n)P_n$$ ที่ไหน $P_n$ คือโปรเจ็กเตอร์บนพื้นที่ต่าง ๆ และ $\lambda_n$ และ $\mu_n$ ค่าลักษณะเฉพาะของ $E$ และ $B$ตามลำดับ ดังนั้นในกรณีนี้$$\tau = \{t\in [0,1]: \lambda_n = t \mu_n\;\;\mathrm{for}\;\mathrm{some}\;n\}\,,$$ ซึ่งสามารถนับได้อย่างชัดเจน
แต่จะจัดการกับกรณีทั่วไปอย่างไร? คุณสมบัติยังคงยึดอยู่จริง?
คำตอบ
นี่คือคำตอบบางส่วนในกรณีพิเศษว่า $E\geq 0$.
สมมติโดยขัดแย้งว่า $\{t_i\}_{i\in I}$ เป็นชุดย่อยที่นับไม่ได้ของ $[0,1]$ ดังนั้น $E-t_iB$ ไม่ได้ฉีดสำหรับทุกคน $i$และเลือกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ ดังนั้น $E(x_i)=t_iB(x_i)$, เพื่อทุกสิ่ง $i$.
ถ้า $t_i\neq t_j$ สังเกตว่า $$ t_i\langle B(x_i),x_j\rangle = \langle E(x_i),x_j\rangle = \langle x_i,E(x_j)\rangle = \langle x_i,t_jB(x_j)\rangle = t_j\langle B(x_i),x_j\rangle , $$ ดังนั้น $\langle B(x_i),x_j\rangle =0$และด้วยเหตุนี้ $\langle E(x_i),x_j\rangle =0$. โดยใช้สิ่งนั้น$E$ เป็นบวกเราอาจเขียน $E=E^{1/2}E^{1/2}$ดังนั้น $$ 0=\langle E(x_i),x_j\rangle = \langle E^{1/2}(x_i),E^{1/2}(x_j)\rangle , $$ และเป็นไปตามนั้น $\{E^{1/2}(x_i)\}_{i\in I}$ เป็นครอบครัวที่นับไม่ได้ของเวกเตอร์มุมฉากคู่ใน $H$ความขัดแย้ง
แก้ไข (1): นี่คือข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง หากคำตอบของคำถามเดิมได้รับการยืนยันแล้วมันก็เป็นการยืนยันโดยไม่มีสมมติฐานว่า$B$ และ $E$ มีการปรับตัวเอง
นี่คือเหตุผล: สมมติว่าตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัด (อาจไม่ใช่ selfadjoint) $B$ และ $E$กับ $E$ การฉีดให้ผลตอบแทนเป็นตัวอย่างนั่นคือเราสามารถหาส่วนย่อยที่นับไม่ได้ $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ และครอบครัวที่สอดคล้องกัน $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เช่นนั้น $E(x_i)=t_iB(x_i)$, เพื่อทุกสิ่ง $i$.
พิจารณาตัวดำเนินการ $\tilde B$ และ $\tilde E$, ทำหน้าที่ $H\oplus H$กำหนดไว้ดังนี้: $$ \tilde B = \pmatrix{0 & B^*\cr B & 0}, \qquad \tilde E = \pmatrix{0 & E^*\cr E & I}, $$ ที่ไหน $I$ หมายถึงตัวดำเนินการเอกลักษณ์บน $H$. พิจารณาเวกเตอร์ด้วย$\tilde x_i\in H\oplus H$ ให้โดย $\tilde x_i = \pmatrix{x_i\cr 0}$.
การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่า $\tilde E(\tilde x_i)=t_i\tilde B(\tilde x_i)$ดังนั้น $\tilde E-t_i\tilde B$ไม่ได้ฉีด เห็นได้ชัดว่าทั้งสองอย่าง$\tilde B$ และ $\tilde E$ มีขนาดกะทัดรัดและปรับเปลี่ยนได้เองและต่อไปเราจะแสดงให้เห็นว่า $\tilde E$เป็นแบบฉีด สำหรับเรื่องนี้สมมติว่า$\pmatrix{x\cr y}$ อยู่ในช่องว่างของ $\tilde E$. มันจึงเป็นไปตามนั้น$E^*(y) = 0$ และ $E(x)+y=0$. การสมัคร$E^*$ ให้กับตัวตนหลัง $$ 0 = E^*E(x)+E^*y=E^*E(x), $$ ด้วยเหตุนี้ $$ 0 = \langle E^*E(x), x\rangle = \langle E(x), E(x)\rangle = \Vert E(x)\Vert ^2, $$ นำไปสู่ $E(x)=0$, และนอกจากนี้ยังมี $x=0$, เพราะ $E$เป็นแบบฉีด เสียบสิ่งนี้เข้า$E(x)+y=0$ในที่สุดก็ให้ $y=0$เช่นกัน
เพราะฉะนั้นทั้งคู่ $(\tilde B, \tilde E)$ให้ตัวอย่างตอบโต้สำหรับคำถามเดิมซึ่งเราสมมติว่ามีคำตอบในเชิงบวก ด้วยเหตุนี้เราจึงมีความขัดแย้งดังนั้นจึงพิสูจน์คำพูดดังกล่าว
แก้ไข (2): สะโพกที่กระชับก็สามารถถอดออกได้เช่นกัน !! นี่คือเหตุผล: สมมติว่าตัวดำเนินการที่มีขอบเขต (อาจไม่กระชับ)$B$ และ $E$กับ $E$ การฉีดให้ผลตอบแทนเป็นตัวอย่างนั่นคือเราสามารถหาส่วนย่อยที่นับไม่ได้ $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ ดังนั้น $E-t_iB$ ไม่ได้ฉีดสำหรับทุกคน $i$.
ทุกพื้นที่ของ Hilbert ที่แยกออกจากกันยอมรับตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดแบบหัวฉีด (เช่นตัวดำเนินการแนวทแยงที่มีรายการแนวทแยง $1,1/2,1/3,\ldots $ บน $l^2$) ให้ $K$ เป็นผู้ดำเนินการดังกล่าว $H$. แล้วชัดเจน$KE$ เป็นแบบฉีด แต่ $$ KE-t_iKB = K(E-t_iB) $$ไม่ใช่. ดังนั้นคู่ของตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัด$(KB, KE)$ ให้ตัวอย่างตอบโต้เช่นเดียวกับใน EDIT (1) ซึ่งสามารถทำให้เป็นตัวอย่างตอบโต้สำหรับคำถามเดิมได้
แก้ไข (3): ในโพสต์นี้เราจะพบตัวอย่างตอบโต้สำหรับสถานการณ์ใน EDIT (2) ดังนั้นคำถามจึงถูกตัดสินในเชิงลบในที่สุด !!
เพื่อให้เจาะจงมากขึ้น $E$ ถูกนำไปเป็นตัวดำเนินการระบุตัวตนและ $B$ การเปลี่ยนไปข้างหลัง (โปรดจำไว้ว่าสำหรับ $t$ ที่ไม่ใช่ศูนย์มีสิ่งนั้น $E-tB$ คือ iff แบบฉีด $t^{-1}E-B$ คือ).