ความสัมพันธ์ระหว่างรูปหลายเหลี่ยมนูนและวงรี
ปล่อย $F$ เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ล้อมรอบบนระนาบ
เราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่ามีวงกลมอยู่ $K$ st ถ้าวงรีมี $F$ และไม่มีอยู่ใน $K$จากนั้นฟิลด์ของวงรีนี้จะใหญ่กว่า $1$เหรอ?
วิธีแสดงว่ามีวงรีอย่างน้อยหนึ่งวงที่มีช่องที่มีค่าน้อยที่สุดและมีรูปหลายเหลี่ยมอยู่ $F$เหรอ?
ฉันไม่มีความคิดที่สมเหตุสมผล
คำตอบ
สำหรับ 1: วาดวงกลมเล็ก ๆ $C$ ภายใน $F$. ปล่อย$r$ เป็นรัศมีของ $C$. วงรีใด ๆ ที่มี$F$ ต้องมี $C$. นอกจากนี้แกนกึ่งรองของวงรีใด ๆ ที่มี$C$ ต้องมีอย่างน้อย $r$. ตอนนี้วาด$K$ ศูนย์กลางด้วย $C$เพื่อให้รัศมี $R$ ของ $K$ เป็นอย่างน้อย $\frac{1}{\pi r}$. ตอนนี้สำหรับวงรีจะไม่รวมอยู่ใน$K$ต้องขยายระยะทางอย่างน้อย $R$จากศูนย์กลาง และวงรีใด ๆ ที่มี$F$ต้องมีศูนย์กลางด้วย ดังนั้นวงรีที่ทั้งสองมี$F$ และไม่ติดอยู่ใน $K$ ต้องมีแกนกึ่งสำคัญอย่างน้อย $R$เนื่องจากแกนกึ่งหลักอยู่ไกลที่สุดที่จุดสองจุดในวงรีจะอยู่ห่างจากกันได้ วงรีจึงต้องมีแกนกึ่งหลักเป็นอย่างน้อย$\frac{1}{\pi r}$ และแกนกึ่งรองอย่างน้อย $r$ดังนั้นพื้นที่ต้องมีอย่างน้อย $\pi r \frac{1}{\pi r} = 1$.
สำหรับ 2: ฉันจะบอกใบ้เพื่อให้คุณมีโอกาสคิดเกี่ยวกับปัญหา (และฉันก็ขี้เกียจด้วย) ลองนึกถึงการยืดรูปหลายเหลี่ยมไปในทิศทางเดียวแล้วบีบอีกทางหนึ่งด้วยจำนวนเท่ากัน การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นการอนุรักษ์พื้นที่ นอกจากนี้ยังเปลี่ยนรูปหลายเหลี่ยมนูนหนึ่งให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนอีกรูปหนึ่ง สำหรับวงรีใด ๆ จะมีการเปลี่ยนแปลงการยืด / การบีบพื้นที่ซึ่งจะเปลี่ยนเป็นวงกลม นอกจากนี้:https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem หวังว่าจะเพียงพอที่จะให้แนวคิดบางอย่าง