ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบเส้นทางของช่องว่างโทโพโลยีสองช่องกับส่วนประกอบเส้นทางของผลิตภัณฑ์

Question

ปล่อย $X_1$ และ $X_2$เป็นช่องว่างโทโพโลยี ขอแสดงความนับถือ$\pi_0(X)$ ชุดขององค์ประกอบเส้นทางของ $X$. ฉันต้องการทราบว่ามีความสัมพันธ์ระหว่าง$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$และ $\pi_0(X_1\times X_2)$.

ฉันได้แสดงให้เห็นแล้ว $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. การรวมอื่น ๆ เป็นจริงหรือไม่?

ขอบคุณ!

Answer 1

สิ่งแรกที่ควรทราบคือนี่ไม่ใช่การรวมชุดในทางเทคนิค แต่เป็นการรวมตามธรรมชาติ $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$เนื่องจากผลคูณของช่องว่างที่เชื่อมต่อกับเส้นทางนั้นเชื่อมต่อกับเส้นทาง ถ้า$X=A \cup B$กับ $A \cap B = \emptyset$จากนั้นสำหรับชุดใดก็ได้ $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$ด้วยองค์ประกอบที่ไม่ปะติดปะต่อนี้ ดังนั้นถ้า$Y = \bigcup_i Y_i$ และ $X=\bigcup_j X_j$, ที่ไหน $X_j,Y_i$ เป็นส่วนประกอบเส้นทาง (ซึ่งไม่ปะติดปะต่อ!) เรามีสิ่งนั้น $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. สิ่งเหล่านี้เป็นส่วนประกอบของเส้นทางอย่างชัดเจน$X \times Y$เนื่องจากหากมีเส้นทางเชื่อมโยงกับจุดที่แตกต่างกันจะมีเส้นทางเชื่อมต่อ $Y_i$ ถึง $Y_i'$ หรือ $X_j$ ถึง $X_j'$. ดังนั้นเราจึงได้รับ bijection ตามธรรมชาติ (การรวมเข้าด้วยกันนั้นเป็นการคาดเดา)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ ที่ไหน $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.