ข้อผิดพลาดที่ผูกไว้ใน PNT ภายใต้สมมติฐานคล้าย RH
ในเอกสารประกอบการบรรยายมีแบบฝึกหัดที่ฉันต่อสู้ ที่นี่$\psi$หมายถึงฟังก์ชั่น Chebychev ฉันสันนิษฐานว่า$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ สำหรับบางคน $0<\varepsilon<1/2$ (ซึ่งน่าจะมาจาก Riemann Hypothesis รุ่นที่แข็งแกร่งน้อยกว่านั่นคือพื้นที่ที่ไม่มีศูนย์ของรูปแบบ $\{\sigma>c\}$). โดยใช้การสรุปโดยส่วนต่างๆฉันเขียน$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ ซึ่งทำให้ฉันสามารถพิสูจน์ได้ $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$
ตอนนี้ในการออกกำลังกายที่เหลือฉันขอให้พิสูจน์ว่า $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ สำหรับใด ๆ $\delta>0$ (นี่คือความรู้สึกที่ $\text{Li}(x)$ เป็นค่าประมาณที่ดีกว่า $\pi(x)$ มากกว่าเพียงแค่ $\frac{x}{\log(x)}$). จะพิสูจน์ได้อย่างไร?
ถ้าฉันถือว่าการสนทนานั่นคือ $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ สำหรับบางคน $\delta>0$แล้วฉันก็ไม่รู้ว่าฉันควรจะได้รับความขัดแย้งใด
ฉันลองอสมการคลาสสิก: $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$แต่ฉันสงสัยว่ามันพาฉันไปทุกที่ ใครมีคำใบ้ / ความคิด? การออกกำลังกายไม่ให้ใด ๆ นอกเหนือจากบางเรื่องไม่สำคัญ
คำตอบ
จากสิ่งที่คุณพิสูจน์แล้วเรามี $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ ตอนนี้มันสามารถแสดงได้โดยใช้การรวมทีละส่วนว่า $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ ดังนั้น, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$