ลักษณะเฉพาะของชุดที่เชื่อมต่อภายในที่เชื่อมต่อกัน
$T_1$ พื้นที่ $X$ มีทั้งเชื่อมต่อและเชื่อมต่อภายใน iff สำหรับทุกฝาที่เปิดอยู่ $\{U_\alpha\}$ ของ $X$ และคู่ของคะแนน $x_1,x_2$ ของ $X$มีลำดับที่ จำกัด $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ และลำดับของส่วนย่อยที่เปิดที่เชื่อมต่อ $V_1,\cdots,V_n$ ดังนั้น
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
- $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ เพื่อทุกสิ่ง $i=1,\cdots,n$
ตอนนี้สำหรับการเชื่อมต่อ $X$เรามีสิ่งนั้นสำหรับ $x_1,x_2$ ของ $X$ และเปิดฝา $\{U_\alpha\}$เราจะได้ลำดับ $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ จากหน้าปกเช่นนั้น
- $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
- $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
นอกจากนี้ยังเป็น $X$ เชื่อมต่อภายในแต่ละองค์ประกอบของชุดเปิดจะเปิดอยู่
ตอนนี้ฉันเชื่อว่า $V_i$ จำเป็นต้องมีส่วนประกอบของ $U_{\alpha_i}$เลือกอย่างเหมาะสมเพื่อให้เงื่อนไข $1$ และ $2$ถือ. สิ่งนี้จะดูแลโดยอัตโนมัติหากสภาพ$3$. อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถแสดงสิ่งนี้ได้ ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม!
คำตอบ
ปล่อย $X$เป็นไปตาม "เงื่อนไขการเปิดฝา" แล้ว$X$ เชื่อมต่อกันเนื่องจากสอง $x_1, x_2 \in X$ อยู่ในชุดย่อยที่เชื่อมต่อของ $X$ (ใช้การรวมกันของ $V_i$). เพื่อแสดงว่า$X$ เชื่อมต่อในพื้นที่ให้ $x_1 \in X$ และ $U_1$ เป็นย่านเปิดของ $x_1$. เราต้องหาย่านเปิดที่เชื่อมต่อกัน$V_1$ ของ $x_1$ ดังนั้น $V_1 \subset U_1$. ชุด$U = X \setminus \{x_1\}$ เปิดให้บริการตั้งแต่ $X$ คือ $T_1$(นี่คือที่เดียวที่เราต้องการไฟล์$T_1$- ความต้องการ). ดังนั้น$\mathcal U = \{U_1, U\}$ เป็นฝาเปิดของ $X$. เลือกใด ๆ$x_2 \in X$ (ถ้าคุณต้องการ $x_2 = x_1$). มีลำดับของการเชื่อมต่อเปิด$V_i$ตามสภาพของคุณ เรามี$x_1 \in V_1$. ยิ่งไปกว่านั้น$V_1$ มีอยู่ในสมาชิกบางคนของ $\mathcal U$. ตั้งแต่$x_1 \in V_1$มันเป็นไปไม่ได้ที่ $V_1 \subset U$. ด้วยประการฉะนี้$V_1 \subset U_1$.
ต่อไปเราจะพิสูจน์การสนทนา ให้เราเริ่มต้นด้วยสิ่งต่อไปนี้
เลม: ปล่อย $M_1,\ldots, M_r$ เป็นส่วนย่อยของ $X$ ดังนั้น $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ สำหรับ $i =1,\ldots,r-1$. จากนั้นมีชุดย่อย$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ ดังนั้น $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ และ $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.
พิสูจน์: โทร $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ ดีถ้า$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ และ $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ สำหรับ $i = 1,\ldots,n-1$. อย่างชัดเจน$\{1,\ldots,r\}$เป็นสิ่งที่ดี มีอยู่อย่างดี$\{k_1,\ldots,k_n\}$ที่มีน้อยที่สุด$n$ (อาจจะ $n = r$). สมมติ$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ สำหรับบางคู่ $(i,j)$ ดังนั้น $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog เราอาจถือว่า$i < j$. แล้ว$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ ดีกับ $n+1-(j-i) < n$ความขัดแย้ง
คำนามแสดงให้เห็นว่าใน "สภาพฝาเปิด" เราสามารถแทนที่ 2. ได้โดยสภาพที่อ่อนแอกว่า (เห็นได้ชัดเท่านั้น) $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ ปล่อย $\mathcal U$ เป็นฝาเปิดของ $X$. สำหรับ$x_1,x_2 \in X$ กำหนด $x_1 \sim x_2$ หากมีลำดับที่ จำกัด ของส่วนย่อยที่เปิดที่เชื่อมต่ออยู่ $V_1,\cdots,V_n$ ดังนั้น
- แต่ละ $V_i$ มีอยู่ในบางส่วน $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ สำหรับ $i = 1,\ldots,n-1$
$\sim$เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน การสะท้อนกลับเกิดจากการเชื่อมต่อในพื้นที่ (แต่ละ$x$ มีอยู่ในบางส่วน $U \in \mathcal U$ตอนนี้ใช้เวลา $n=1$ และ $V_1$ ใด ๆ ที่เชื่อมต่อเปิดเช่นนั้น $x \in V_1 \subset U$). ความสมมาตรและการเปลี่ยนแปลงชัดเจน
คลาสความเท่าเทียมกัน $[x_1]$ ด้วยความเคารพ $\sim $ เปิดอยู่: ถ้า $x_2 \in [x_1]$เราพบลำดับของ $V_i$ดังกล่าวข้างต้น. แต่เห็นได้ชัดว่า$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. ดังนั้นคลาสความเท่าเทียมกันจึงสร้างการแบ่งพาร์ติชันของ$X$เป็นชุดเปิดไม่ปะติดปะต่อกัน ตั้งแต่$X$มีการเชื่อมต่อสามารถมีได้เพียงหนึ่งชั้นสมมูล ดังนั้นสอง$x_1,x_2 \in X$ เทียบเท่าซึ่งเสร็จสิ้นการพิสูจน์
ในคำตอบนี้ฉันให้ลักษณะลูกโซ่ของความเกี่ยวพัน อ่านก่อน ฉันไม่มี "iff$|i-j| \le 1$"ส่วนหนึ่ง แต่สามารถทำได้โดยใช้ไฟล์ $T_1$-ness ของ $X$ตรวจสอบหลักฐาน โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่ชอบการผสมผสานสัจพจน์การแยกแบบนั้น
ถ้า $X$ เชื่อมต่อและเชื่อมต่อในพื้นที่ให้ $\{U_{\alpha \in A}\}$ เป็นฝาเปิดของ $X$. จากนั้นสำหรับแต่ละ$x \in X$ เรามี $\alpha_x$ และเปิดการเชื่อมต่อ $V_x$ ดังนั้น $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. จากนั้นใช้การกำหนดลักษณะโซ่ของการเชื่อมต่อของ$X$ ถึง $\{V_x: x \in X\}$ และเราได้แสดงให้เห็นทิศทางเดียวการมีอยู่ของความครอบคลุมนั้นจากความเชื่อมโยงและความเชื่อมโยงในท้องถิ่น
วิธีดูพิสูจน์ $X$เชื่อมต่อและเชื่อมต่อภายในจาก "สภาพโซ่ดัดแปลง"? การเชื่อมต่อทำได้ง่ายเพียงแค่ใช้เงื่อนไขกับหน้าปกโดยตรง$\{U,V\}$ เมื่อไหร่ $U,V$ คือการตัดการเชื่อมต่อของ $X$.
ยิ่งไปกว่านั้นให้ $O$ เปิดกว้าง $p \in O$ และปล่อยให้ $C$ เป็นส่วนประกอบของ $p$ ใน $O$. ใช้ข้อเท็จจริงกับหน้าปกที่เปิดอยู่$\{O,X\setminus \{p\}\}$ ของ $X$. สำหรับ$y \in C$ และ $p$ เราพบว่าเปิดและเชื่อมต่อกัน $V_1,\ldots V_n$ ดังนั้น $p \in V_1$, $q \in V_n$ และ $V_i \subseteq O$ หรือ $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ เพื่อทุกสิ่ง $i$ และอยู่ติดกัน $V_i$ตัด. ในความเป็นจริง "โซ่" ต้องมีความยาว$2$ ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับมัน (!) $n=2$. แต่แล้ว$V_1 \cup V_2$ เชื่อมต่อและชุดย่อยของ $O$ และแสดงให้เห็นว่า $q$ เป็นจุดภายในของ $C$ และ $X$ เชื่อมต่อภายในเครื่อง