ลักษณะเฉพาะของมิติที่ จำกัด C * -algebras?
$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$ปล่อย $A$ เป็นมิติที่ จำกัด $*$- พีชคณิตมากกว่า $\mathbb C$.
(กล่าวคือพีชคณิตเชื่อมโยงที่มีการวิงวอน$*:A\to A$ น่าพอใจ $(ab)^*=b^*a^*$ และ $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)
สมมติว่าสำหรับ $\forall a\in A$ เรามี $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
เป็นไปตามนั้นหรือไม่$A$ C * -algebra คืออะไร?
ที่นี่สเปกตรัม $\Spec(x)$ ขององค์ประกอบ $x$ คือชุดของสเกลาร์ $\lambda\in \mathbb C$ ดังนั้น $x-\lambda$ ไม่สามารถกลับด้านได้
คำตอบ
ปล่อย $V$เป็นพื้นที่เวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีการดำเนินการของดาวต่อต้านเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลง (เช่น C * - พีชคณิตที่ลืมการคูณไปแล้ว) จัดให้$V$ ด้วยการคูณศูนย์ที่เหมือนกันกล่าวคือ $xy=0$ สำหรับทุกอย่าง $x$ และ $y$ ใน $V$. จากนั้นการกำหนดหน่วยของ$V$เป็นตัวอย่างตอบโต้ ในความเป็นจริงทุกองค์ประกอบ$a$ ของ $V$ ไม่มีจุดเด่นดังนั้น $\text{spec}(a) = \{0\}$. ดังนั้นสเปกตรัมขององค์ประกอบใด ๆ ในรูปแบบ$a-\lambda$ คือ $\lambda$ จากที่ซึ่งสามารถตรวจสอบเงื่อนไขที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย
อย่างไรก็ตาม $a^*a=0$ สำหรับทุกๆ $a$ ใน $V$ดังนั้น $\tilde V$ ไม่สามารถเป็น C * -algebra ได้