Mathematica แสดงผลปริพันธ์ตรีโกณมิติ ( $\sec^3$) ในรูปแบบที่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้

Question

แน่นอนว่าอินทิกรัลไม่แน่นอน $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica ให้:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

$1/2 \sec(x) \tan(x)$ อยู่ที่นั่น แต่ฉันใช้เวลาสองสามชั่วโมงในการพิสูจน์ว่าลอการิทึมของ Mathematica เป็นจริง $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$และฉันก็ทำไม่ได้! $x/2$ครึ่งมุมโยนประแจเข้าไปในผลงานของฉัน มันดูผิดมากสำหรับฉันมันเหมือนกับสูตรครึ่งมุมถอยหลัง ฉันได้รากที่สองที่ฉันต้องการเห็นกำลังสอง

ฉันแน่ใจว่าฉันพลาดบางอย่างที่ชัดเจน แต่ฉันมองไม่เห็น!

Answer 1

แยกความแตกต่างรวมลอการิทึมและทำงานย้อนกลับโดยใช้สูตรครึ่งมุมและเอกลักษณ์ $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

คุณสามารถไปที่นั่นได้ด้วยตัวเองหากคุณแสดงครั้งแรก:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ข้างต้นลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณใส่มันไว้บนตัวส่วนร่วม:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

เห็นได้ชัดว่าตัวเศษคือ 1 ตามเอกลักษณ์ $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ และตัวส่วนคือ $\cos(x)$โดยครึ่งมุม หากต้องการดูสิ่งนี้ให้ขยายตัวส่วน$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ ที่จะได้รับ $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. แล้วเรามี$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ และ $1/d$ คือ $\sec(x)$

... และส่วนที่เหลือของอนุพันธ์:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

ดังนั้น:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)