เมทริกซ์ Hermitian ที่คล้ายกันทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกันหรือไม่?
ฉันไม่ได้ $100\%$ แน่ใจในความถูกต้องของสิ่งที่ฉันได้รับดังนั้นฉันขอการตรวจสอบได้ไหม
ปล่อย $A,B\in M_n(\Bbb C)$เป็นเมทริกซ์ Hermitian สองตัวที่คล้ายกัน แล้ว$A=P^{-1}BP$.
ตามทฤษฎีบทสเปกตรัมเมทริกซ์ Hermitian ทุกตัวสามารถปรับแนวทแยงมุมได้ $A=U_1^{-1}DU_1$ และ $B=U_2^{-1}DU_2$, ที่ไหน $U_1,U_2\in M_n(\Bbb C)$ รวมกันและ $D=\left(\delta_{ij}\right)\in M_n(\Bbb C)$ เป็นเส้นทแยงมุม $\delta_{ii}\in\sigma(A)=\sigma(B)$.
ตั้งแต่ $A$ และ $B$ มีความคล้ายคลึงกับ $D$, ฉันอยากจะเขียน $A$ ในรูปแบบต่อไปนี้: $$A=P^{-1}U_2^{-1}DU_2P$$ แล้ว $U_2P=U_1\implies P=U_2^{-1}U_1$. เนื่องจากทั้งสอง$U_1$ และ $U_2^{-1}$ รวมกัน $P$ในฐานะที่เป็นผลคูณของเมทริกซ์สองตัวที่รวมกันจะถูกรวมเข้าด้วยกัน
คำถามตามผลลัพธ์นี้:
เมทริกซ์ Hermitian ที่คล้ายกันทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกันหรือไม่?
ถ้าถูกต้องสามารถใช้ในการพิสูจน์ว่าการแสดงเมทริกซ์ของตัวดำเนินการ Hermitian ในรูปแบบออร์โธนิกเป็นเมทริกซ์ Hermitian หรือไม่? คำสั่งนี้ชัดเจนเมื่อพิจารณาจากเมทริกซ์ Hermitian โดยพลการคนหนึ่งจะถูกขอให้ทำเส้นทแยงมุม ฉันคิด$P$ อาจเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐานหนึ่งไปยังอีกค่าหนึ่ง
ขอบคุณล่วงหน้า!
คำตอบ
ตามที่ได้รับการยืนยันโดย @ StephenMontgomery-Smith เมทริกซ์ Hermitian ที่คล้ายกันทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง
ฮาเวอร์เวอร์ $P$ ไม่จำเป็นต้องรวมกันถ้าเช่น $A=B=0$. จากนั้นทุกตัวกลับหัว$P$ ก็พอเพียง
คุณอาจเห็นนี้คำถามขนานผมโพสต์บน Quora ตอบเมื่อวานนี้โดยแอรอน Dunbrack