เมทริกซ์ใน POVM สำหรับการวัดค่าแรกคืออะไร $m$ คิวบิท?

Question

สมมติว่าคุณมีสถานะควอนตัม $|w\rangle$ ซึ่งประกอบด้วย $m + n$ qubits และคุณตั้งค่าการวัดที่วัดค่าแรก $m$qubits ตามมาตรฐาน เมทริกซ์ใน POVM ที่เกี่ยวข้องคืออะไร?

Answer 1

เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นการวัดแบบฉายภาพบนพื้นที่ย่อยของครั้งแรก $m$ qubits เราสามารถแสดงรายการโปรเจ็กเตอร์ทั้งหมดบนพื้นฐานการคำนวณของ subpace แรกนี้และ 'pad' ด้วย $I$อยู่ในพื้นที่ย่อยที่สอง:

$$ P_{j} = |j\rangle\langle j|_{m} \otimes I_{|n|},\,\,\, \forall j \in \{0,1\}^{m}, $$ ซึ่งให้ตรง $|\{0,1\}^{m}| = 2^{m}$ตัวดำเนินการที่แตกต่างกันสำหรับ POVM หากคุณระบุผลลัพธ์การวัดที่แตกต่างกันกับตัวดำเนินการทุกตัวให้พูด$\lambda_{j} = j_{d}$ (เช่น $j$ ในรูปทศนิยม) คุณสามารถเขียนตัวดำเนินการวัดได้อย่างง่ายดายเช่นกัน:

$$ M = \sum_{j} \lambda_{j}P_{j} = \sum_{j} j_{d}|j\rangle \langle j \otimes I_{n}| $$

ตัวอย่างเช่นดูคำตอบที่ดีของ Daftwullie สำหรับตัวดำเนินการวัดที่แตกต่างกัน โปรดทราบว่าคำตอบนั้นจะละเว้นพื้นที่ย่อยพิเศษของ$n$แต่คุณสามารถรักษาได้โดยการเติม $I$อีกครั้ง