เมตริกผกผันสำหรับการสลายตัว 3 + 1

Aug 15 2020

ฉันพยายามอ่านเกี่ยวกับการสลายตัวของกาลอวกาศ 3 + 1 จากส่วนที่ 12.2 ของหนังสือ Gravitation Foundations and Frontiers ของ Padmanabhan อย่างไรก็ตามแหล่งข้อมูลอื่น ๆ สามารถให้บริบทสำหรับคำถามของฉันได้เช่นกัน

เมื่อระบบพิกัด $(t,y^\alpha)$ ถูกนำมาใช้ในกาลอวกาศจากรูขุมขน $x^a=x^a(t,y^\alpha)$จากนั้นเราก็เขียนได้ (หนังสือเล่มนี้ใช้หลักการประชุมด้วย $a=0,1,2,3$; $\alpha=1,2,3$ หรือดัชนีละตินแสดงถึงกาลอวกาศและดัชนีกรีกเว้นวรรคเท่านั้น) \begin{align} dx^a&=\frac{\partial x^a}{\partial t}dt+\frac{\partial x^a}{\partial y^\alpha}dy^\alpha\nonumber\\ &=t^adt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha\right)dt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Ndt\right)n^a+\left(N^\alpha dt+dy^\alpha\right)e^a_\alpha \end{align} ในกรณีที่เราใช้ความจริงที่ว่าแทนเจนต์กับเส้นโค้งพารามีทรี $t$ คือ $t^a=\partial x^a/\partial t=Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha$; และ$N$เรียกว่าฟังก์ชันล่วงเลยและ$N^\alpha$เรียกว่ากะเวกเตอร์$e^a_\alpha=\partial x^a/\partial y^\alpha$ เป็นสัมผัสกับพื้นผิวเหนือพื้นผิวที่เรียกว่า tetrads

องค์ประกอบเส้น (กำลังสอง) กลายเป็น \begin{align} ds^2&=g_{mn}dx^mdx^n\nonumber\\ &=g_{mn}\left[\left(Ndt\right)n^m+\left(N^\alpha dt+dx^\alpha\right)e^m_\alpha\right]\left[\left(Ndt\right)n^n+\left(N^\beta dt+dx^\beta\right)e^n_\beta\right]\nonumber\\ &=-N^2dt^2+h_{\alpha\beta}\left(dx^\alpha+N^\alpha dt\right)\left(dx^\beta+N^\beta dt\right), \end{align} ที่นี่ \begin{align} h_{\alpha\beta}=g_{mn}e^m_\alpha e^n_{\beta}=g_{\alpha\beta}. \end{align} เมตริกสามารถอ่านได้จากองค์ประกอบบรรทัดด้านบน \begin{align} g_{00}=-N^2+N_\gamma N^\gamma,\quad g_{0\alpha}=N_\alpha,\quad g_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta} \end{align} ในรูปแบบเมทริกซ์ \begin{align} g_{mn}=\begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \end{align}

คำถามของฉันคือจะคำนวณค่าผกผันของเมตริกนี้ได้อย่างไร?

ฉันได้ลองทำแล้ว แต่ไม่สำเร็จยกเว้นส่วนประกอบ $g^{00}$และฉันไม่แน่ใจว่ารากศัพท์นั้นถูกต้องหรือไม่ ขออธิบายกระบวนการต่อไปนี้

ตอนนี้เป็น $\partial_a t=\delta^t_a=\delta^0_a$ ในระบบพิกัด $(t,y^\alpha)$. ด้วยประการฉะนี้\begin{align} g^{00}&=g^{ab}\partial_a t\partial_b t\nonumber\\ &=\frac{1}{N^2}g^{ab}n_an_b\nonumber\\ &=-N^{-2}. \end{align} โดยที่ฉันใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์ปกติถูกกำหนดให้เป็น $n_a=-N\partial_a t$ และการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับ hypersurfaces แบบอวกาศก็เป็นเช่นนั้น $n^an_a=-1$.

ในหนังสือส่วนประกอบของเมตริกผกผันจะได้รับ \begin{align} g^{00}=-N^{-2},\quad g^{0\alpha}=N^{-2}N^{\alpha},\quad g^{\alpha\gamma}=h^{\alpha\gamma}-N^{-2}N^\alpha N^\gamma \end{align}

ดังนั้นคำตอบที่ฉันกำลังมองหาคือการได้มาทีละขั้นตอนของเมตริกผกผันที่กำหนดองค์ประกอบของเมตริกและควรตรวจสอบว่าการคำนวณของฉันสำหรับ $g^{00}$ถูกต้อง. ขอขอบคุณ.

คำตอบ

2 VacuuM Aug 22 2020 at 09:58

ขอผมทำซักครั้ง แม้ว่า spiridon จะตอบคำถามไปแล้ว แต่ฉันก็อยากจะให้คำตอบอย่างเป็นทางการเนื่องจากคำตอบของ spiridon เกี่ยวข้องกับการเดา เรามีสถานการณ์ที่เราต้องคำนวณผกผันของเมทริกซ์ที่แบ่งพาร์ติชัน ดังนั้นให้เราหาสูตรทั่วไปสำหรับการผกผันของเมทริกซ์ที่แบ่งพาร์ติชันแล้วเราจะนำไปใช้กับเมตริก

ให้สองตัวที่ไม่ใช่เอกพจน์ $n\times n$ เมทริกซ์ $A$ และ $B$ แบ่งออกเป็นดังนี้ \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} ปล่อย $A_{11}$ และ $B_{11}$ เป็น $k\times k$ เมทริกซ์กับ $k<n$. เราจะถือว่า\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} ตอนนี้ถ้า $B=A^{-1}$จากนั้นเราจะพบเมทริกซ์ส่วนประกอบของ $B$ ในแง่ของเมทริกซ์ส่วนประกอบของ $A$. เรามี,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} ความสัมพันธ์ของเมทริกซ์นี้ลดเป็น \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} จาก (2) และ (3) เรามี \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} แทนที่สิ่งเหล่านี้เป็น (1) และ (4) เราจะได้ \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} ดังนั้น \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} ตอนนี้แทนที่สิ่งเหล่านี้เป็น (2) และ (3) เราจะได้ \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} ดังนั้น, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} เพื่อความสะดวกในการขยาย $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$ในแง่ของการWoodbury ตัวตนของเมทริกซ์ ขั้นแรกให้เราได้มาซึ่งตัวตน โปรดทราบว่า\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} โดยนัยนี้ \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}เนื่องจากมีการผกผันที่จำเป็นทั้งหมด! จากนั้น\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} ด้วยประการฉะนี้ \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}ตัวตนดังกล่าวข้างต้นจะเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์วูด ตอนนี้กำลังระบุ$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ และ $V=A_{12}$, เราได้รับ, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} ดังนั้นในที่สุดเราก็มี \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}หลังจากได้รับสูตรทั่วไปนี้แล้วให้เรากลับไปคำนวณค่าผกผันของเมตริก เรามี,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} ตอนนี้ \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} นอกจากนี้เรายังทราบว่า $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. จากนั้น\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} และ \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} และในที่สุดก็, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}โวลา! สนุก!

5 spiridon_the_sun_rotator Aug 16 2020 at 10:25

อาจมีวิธีที่ชัดเจนกว่านี้ในการทำสิ่งนี้โดยไม่ต้องเดา ฉันจะเริ่มจากนิยามของเมทริกซ์ผกผัน:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ หรืออย่างเป็นรูปธรรม: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ เขียนในส่วนประกอบ: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ ตอนนี้ใช้สมมาตรของ $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ ภายใต้การแลกเปลี่ยน $\mu \leftrightarrow \nu$อาจมีคนเห็นว่ามี $ D(D+1) / 2$ สมการเชิงเส้นบนจำนวน unknows เดียวกันซึ่งโดยหลักการแล้วสามารถแก้ไขได้

การทำสิ่งเหล่านี้โดยตรงดูเหมือนเป็นงานที่น่าเบื่อดังนั้นจึงสามารถเดาได้อย่างมีความรู้ สมมติว่าเรารู้เรื่องนั้น$g^{00}$ คือ $-N^2$โดยทั่วไปแล้ว Ansatz อาจเป็นได้ $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$จากนั้นสมการแรกจะได้รับการแก้ไขทันทีโดยการตั้งค่า: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$จากนั้นคนหนึ่งอาจมองไปที่บรรทัดที่สอง นี่ก็เป็นเรื่องธรรมดาที่จะสมมติว่า$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, ที่ไหน $b^{\mu \nu}$ยังสมมาตร การทดแทนนี้ให้:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ นอกจากนี้เราอาจเห็นว่าไฟล์ $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ ทำงาน

1 haelewiin Aug 18 2020 at 21:14

คำตอบนี้ขยายขอบเขตของ spiridon เล็กน้อยและเปลี่ยนวลีบางส่วนของการตั้งค่า OP ในภาษาที่แตกต่างกันเล็กน้อย

เมตริกผกผัน $g^{-1}$เป็นเทนเซอร์เป็นพิกัดอิสระ ดังนั้นวิธีหนึ่งในการกำหนดส่วนประกอบของเมตริกผกผันในระบบพิกัดเฉพาะคือการได้มาจากการแทนค่าที่เป็นอิสระจากพิกัด หากต้องการปัญญาถ้าเมตริกผกผันเป็นพื้นฐาน$\{{\bf e}_a\}$ ให้โดย $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ จากนั้นส่วนประกอบจะได้รับจากการกระทำของ $g^{-1}$ บนพื้นฐานคู่ $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ การสลายตัวของกาลอวกาศ 3 + 1 นั้นรับรู้ได้จากพื้นผิวระดับ (ไฮเปอร์เซิร์ฟเวอร์จริงๆ) ของสนามสเกลาร์ $f$. หน่วยปกติคือ$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. จากหน่วยปกติ$n^a$ สามารถสร้างโปรเจ็กเตอร์แบบขนาน ($P_\parallel$) และมุมฉาก ($P_\perp$) กับมัน ส่วนประกอบของมันถูกกำหนดโดยนิพจน์$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ ด้วยโปรเจ็กเตอร์เหล่านี้เราสามารถกำหนดส่วนประกอบของเมตริกได้ $g_{ab}$ ในแง่ของรูขุมขนบนพื้นผิว: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ สนามเทนเซอร์ $h_{ab}$เป็นเมตริกที่เกิดขึ้นบนพื้นผิวใต้พื้นผิวเนื่องจากการหดตัวทุกครั้งของมันด้วยหน่วยปกติจะหายไป ในทำนองเดียวกันเราสามารถตรวจสอบได้ว่าส่วนประกอบของเมตริกผกผันตรงตาม$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ บนพื้นผิวที่กำหนด $f=t$หนึ่งแนะนำชุดของพิกัดพารามิเตอร์เดียว $y^\alpha$ ที่เปลี่ยนแปลงได้อย่างราบรื่นตามหน้าที่ของ $t$. สิ่งนี้จะสร้างชุดของฟิลด์เวกเตอร์$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$สัมผัสกับพื้นผิวเหนือพื้นผิวซึ่งทำหน้าที่เป็นแผนที่ฝังจากพื้นผิวเหนือพื้นผิวไปจนถึงกาลอวกาศ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมตริกที่เหนี่ยวนำสามารถแสดงในรูปของพิกัดใหม่เหล่านี้ผ่านความสัมพันธ์$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. ในระบบพิกัดนี้เวกเตอร์เวลา$t^a$ โดยทั่วไปไม่ได้ตั้งฉากกับพื้นผิวหน้าดิน แต่สามารถย่อยสลายให้เป็นมุมฉากได้ $N$ และสัมผัส $N^\alpha$ ชิ้นส่วน: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ โปรดทราบว่า $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ เป็นคู่กับเวกเตอร์เวลา $t^a$. การแทนที่ \ eqref {Decposition} เป็น \ eqref {inverse} จากนั้นให้ผล$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ ส่วนประกอบของเมตริกผกผันในระบบพิกัดที่กำหนดสามารถพบได้โดยการหดตัว: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

อ้างอิง:

  • E. Poisson (2007), A Relativist's Toolkit - บทที่ 3, 4
  • E. Gourgoulhon (2012), 3 + 1 Formalism และ Bases of Numerical Relativity - บทที่ 2, 3