เมื่อพิจารณาจากสมการความโค้งเราจะหาตระกูลของสมการพาราเมตริกที่เหมาะสมได้อย่างไร?

Aug 15 2020

ฉันได้เห็นคำถามและคำตอบสองสามข้อที่นี่สำหรับกรณีพิเศษเกี่ยวกับการค้นหาสมการพาราเมตริกสำหรับความโค้งที่กำหนด เช่น; ค้นหาสมการตัวแปรสำหรับเส้นโค้งที่มีความโค้งที่กำหนด อย่างไรก็ตามฉันเกรงว่าจะไม่เข้าใจกระบวนการทั่วไป ใครช่วยแนะนำฉันตลอดกระบวนการนี้

ฉันสนใจเกี่ยวกับสมการพาราเมตริกของรูปแบบ

$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$

จึงมีการเซ็นชื่อโค้ง

$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$

คำถามของฉันคือ

ให้สมการสำหรับ $\kappa(s)$คุณจะหากลุ่มวิธีแก้ปัญหาได้อย่างไร $\gamma(s)$เหรอ?

ฉันคิดว่ามีเส้นโค้งที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งตอบสนองได้ $\kappa(s)$แม้ว่าคำตอบสุดท้ายจะมีค่าคงที่สามค่า $x_0$, $y_0$และ $\theta$ซึ่งจะเข้ารหัสการแปลตามอำเภอใจและการหมุน (หรือบางส่วนที่เทียบเท่า) ของเส้นโค้งดังกล่าวเนื่องจากโดยสัญชาตญาณความโค้งไม่สนใจเกี่ยวกับการแปลหรือการหมุนของเส้นโค้งทั้งหมด

ในท้ายที่สุดฉันเป็นเพียงนักศึกษาระดับปริญญาตรีที่โอ้อวดและด้วยเหตุนี้ฉันจึงจัดการเฉพาะทางวิชาการกับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและมีความโค้งที่เรียนรู้ด้วยตนเองเท่านั้น ไม่ว่าฉันจะเข้าใจแนวคิดแต่ละข้อ ด้วยเหตุนี้ฉันจึงขอขอบคุณคำตอบโดยประมาณในระดับความเข้าใจของฉัน

คำตอบ

1 Chrystomath Aug 16 2020 at 06:52

ไม่เพียง แต่จะมีการหมุนและการแปลโดยพลการเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสะท้อนและพารามิเตอร์ของเส้นโค้งด้วย ก่อนอื่นให้หาค่าพารามิเตอร์ของความยาวคลื่นมาตรฐานซึ่งนิยามของความโค้งจะกลายเป็น$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ ที่ไหน $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ คือเวกเตอร์แทนเจนต์และ $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$คือเวกเตอร์ปกติ 'the' อย่างหลังถูกกำหนดให้เป็นสัญลักษณ์เท่านั้นดังนั้นจึงต้องเลือกหนึ่งในนั้นโดยพลการ สิ่งนี้แก้ไขความถนัดของเส้นโค้งนั่นคือการสะท้อน

ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์ที่ต้องแก้คือ $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ ในฐานะสมการลำดับที่สองสิ่งนี้ควรให้ค่าคงที่ของการรวมสี่ค่า แต่มีข้อ จำกัด ของความยาวคลื่น $(x')^2+(y')^2=1$ดังนั้นในความเป็นจริงมีค่าคงที่เพียงสามค่าเท่านั้น: สองค่าสำหรับการแปลและอีกค่าหนึ่งสำหรับการหมุน

1 Graviton Aug 16 2020 at 11:41

ดังที่ฉันได้ระบุไว้ว่า"ฉันจัดการกับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในเชิงวิชาการเท่านั้น"ดังนั้นคำตอบสำหรับคำถามของฉันเองนี้อาจเต็มไปด้วยข้อบกพร่อง แต่นี่คือ (ฉันเชื่อว่า) รูปแบบทั่วไปที่ฉันกำลังมองหา ขอบคุณมากสำหรับ Chrystomath สำหรับข้อมูลเชิงลึก

ถ้า $(x')^2+(y')^2=1$แล้ว

$$\kappa=x'y''-y'x''$$

นอกจากนี้ $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$

$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$

ปล่อย $u=x'$

$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

ด้วยตรรกะที่คล้ายกันดังต่อไปนี้

$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

ดังนั้นจึงสามารถหาสมการพาราเมตริกได้ (การแลกเปลี่ยนตามอัตภาพ $\sin$ และ $\cos$) เป็น

$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$

ดูเถิดตามคำทำนายของครีสโตมั ธ : ค่าคงที่สามค่า (สองค่าสำหรับการแปลและอีกค่าหนึ่งสำหรับการหมุน) และการสะท้อนกลับ (ระบุโดย $\pm$)!