ไม่เข้าใจว่า PDF ร่วมนี้ทำงานอย่างไร

Question

คำถามนี้มาจาก MIT 6.041 OCW

ฉันไม่เข้าใจส่วน b ของคำถามนี้โดยเฉพาะอย่างไร $f_X(x)$ และ $f_{Y|X}(y|0.5)$ คำนวณ

เท่าที่ฉันเข้าใจคุณจะได้รับ PDF ขอบโดยการรวม PDF ร่วมเช่น $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

สิ่งนี้นำไปสู่ความสับสนมากมาย:

1. มีตามแผนภาพสอง $f_{X,Y}(x,y)$: $1/2$ และ $3/2$. ดังนั้นการรวมสองสิ่งนี้เราได้$\frac{1}{2}y$ และ $\frac{3}{2}y$ ตามลำดับ - ควรจะเป็นแบบไหน $f_X(x)$เหรอ? และคือ$f_X(x)$ ในแง่ของ $y$ แม้ Legit?

2. สถานะการแก้ปัญหา $f_X(x)$ ในแง่ของ $x$แต่ถ้าเรารวมเข้าด้วยกัน $f_{X,Y}(x,y)$ ในแง่ของ $y$เราจะไปได้อย่างไร $x$เหรอ?

โซลูชันสำหรับ $f_{Y|X}(y|0.5)$ก็แปลกกว่า; แต่ละจุดไม่ได้รับ PDF เป็นศูนย์เพราะจุดไม่มีพื้นที่? เป็นไปได้อย่างไรที่จะพูดถึง$X=0.5$ ในตอนแรกนับประสาอะไรกับการปล่อยให้เหตุการณ์ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์เป็นตัวส่วน?

Answer 1

ปริพันธ์ที่เป็นปัญหาเป็นปริพันธ์ที่แน่นอนไม่ใช่อนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

ระบุว่า

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

เราได้รับสำหรับ $0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

และสำหรับ $1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

สำหรับคนอื่น ๆ เรามี

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

และ

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

โปรดทราบว่าการประเมินค่าสุดท้ายต้องการการรวมฟังก์ชันค่าคงที่เป็นชิ้น ๆ