ไม่โปรดพีชคณิตเราเป็นรูปทรงเรขาคณิต

Question

ให้สามเหลี่ยมมุมฉากกับด้าน $ABC$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสองอันโดยใช้ด้านข้าง $A$ และ $C$ (ด้านยาว) และด้านยาวใหม่ $x$(เหมือนกันสำหรับสามเหลี่ยมใหม่ทั้งสอง) โดย Pythagoras ด้านที่สามโดยนัยจะมีความยาว$a$ และ $c$ ดังนั้น $a^2+A^2 = x^2 = c^2+C^2$.

ตอนนี้ใช้พีชคณิตฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าเราสร้างสามเหลี่ยมที่มีด้านได้ $aBc$ มันก็ต้องถูกเช่นกัน: $B^2+c^2 = B^2 + x^2 - C^2 = x^2 - A^2 = a^2$

แต่นั่นก็รู้สึกผิดเหมือนเครื่องดนตรีที่บินได้ในวันที่สดใส

คุณสามารถ

• จัดเรียงรูปใหม่ในลักษณะที่จะทำให้ได้ ($aBc$ ถูกต้อง) ชัดเจน
• หรือสร้างอาร์กิวเมนต์ทางเรขาคณิตโดยตรง
• หรือทั้งสองอย่างรวมกัน?

หมายเหตุเกี่ยวกับรูป โดยบังเอิญโชคร้าย (เล่นสำนวนตั้งใจ) วงกลมสีม่วงดูเหมือนจะผ่าน$\angle AB$. นั่นไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น วงกลมเป็นหนึ่งในรัศมี$c$ รอบ ๆ $\angle BC$

Answer 1

พิจารณามิติที่สาม

สมมติว่าเราเลือกจุดในระนาบผ่าน$B$ตั้งฉากกับระนาบของสามเหลี่ยม สิ่งนี้จะสร้างสามเหลี่ยมใหม่สามอัน สามเหลี่ยมเมื่อ$A$ถูกต้องเสมอ (นี่คือ$Axa$.) สามเหลี่ยมบน $C$ อยู่ที่ $BC$ ถ้าจุดนั้นอยู่เหนือจุดยอดโดยตรง $BC$ (เช่นเส้นผ่านจุดใหม่และจุดยอด $BC$ตั้งฉากกับระนาบของสามเหลี่ยมเดิม) (นี่คือ$Cxc$.) ในกรณีนี้สามเหลี่ยมบน $B$ ก็ชัดเจนเช่นกัน (เช่นที่ $BC$). (นี่คือ$aBc$.)