มีสาเหตุที่ทำให้เทคนิคนี้ไม่ถูกต้องหรือไม่?

Question

คืออะไร $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$เหรอ? วิธีง่ายๆในการประเมินขีด จำกัด นี้คือการแทนที่$0$ สำหรับ $x$ ในตัวเศษเพื่อรับ

$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $

ตั้งแต่ $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ เนื่องจากปริมาณหนึ่งลบออกจากปริมาณเดียวกันคือ 0 เทคนิคนี้หลีกเลี่ยงปัญหาการหารด้วยศูนย์ในขณะที่ใช้ความจริงที่ว่า $\cos(0)$ เป็นที่รู้จัก

Answer 1

ไม่คุณไม่สามารถอ้างสิทธิ์นั้นได้ $x=0$ ในตัวเศษในขณะที่ $x\ne0$ ที่ตัวส่วน!

---

การใช้วิธีการของคุณวิธีง่ายๆในการประเมินขีด จำกัด นี้คือการแทนที่ $0$ สำหรับ $x$ ในส่วนที่จะได้รับ $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ เนื่องจากตัวเศษไม่ใช่ศูนย์

Answer 2

ตัวอย่างการตอบโต้ :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ แน่นอน $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$ดังนั้น $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$

Answer 3

@ChristinaDaniel ตกลงนี่คือตัวอย่างตัวนับ: พิจารณานิพจน์ $\frac{\sin 2x}{x}$ และปล่อยให้ $x$ ไปที่ศูนย์: คำตอบของขีด จำกัด นี้คือ $2$. ตอนนี้พิจารณาสำนวน$\frac{\sin 2x-0}{x}$ สำหรับ $x$ไปที่ศูนย์ คำตอบสำหรับขีด จำกัด นี้ยังคงอยู่$2$. แต่$\sin0=0$ ตอนนี้เราสามารถพิจารณานิพจน์ได้ $\frac{\sin 2x-x}{x}$อีกครั้งกับ $x$ไปที่ศูนย์ แต่ตอนนี้ขีด จำกัด นี้คือ$1$. ดังนั้นเมื่อคุณทำการเปลี่ยนตัว "บางส่วน" คำตอบจะเปลี่ยนไป กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อคุณแทนที่ด้วย$x$คุณต้องทำเช่นนั้นกับทุกๆ $x$ ในนิพจน์

Answer 4

ปล่อย $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. เราต้องการค้นหา$\lim_{x\to e}f(x)$.

การใช้วิธีการที่เสนอจะให้คำตอบที่ผิด

Answer 5

มันไม่ถูกต้อง

คุณไม่สามารถแทนที่ตัวแปรด้วยค่าคงที่ในส่วนหนึ่งของนิพจน์ได้ แต่ปล่อยให้เป็นตัวแปรในอีกตัวแปรหนึ่ง

หากคุณต้องการประมาณขีด จำกัด โดยการแทนที่ตัวแปรด้วยค่าคงที่คุณต้องแทนที่ทุกที่ ถ้าคุณทำอย่างนั้น$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ และนั่นไม่ได้ช่วยอะไรเราเลย

เราต้องถือว่า $x \ne 0$ และถ้าเราแทนที่เราจะต้องแทนที่ด้วย $x = h\ne 0$ และเราได้รับ $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$และเราไม่สามารถแทนที่ได้$h$ ด้วย $0$ อยู่ด้านบนไม่ใช่ด้านล่างเพราะ $h$ ISN "ต $0$. และไม่ว่าจะเป็นอะไรก็ตาม$x$ ในตัวเศษคือ $x$ ในตัวส่วนต้องเป็นสิ่งเดียวกัน

.....

การให้เหตุผลของข้อผิดพลาดคือความเหลวไหลเล็กน้อยที่ด้านบน $x\approx 0$ หมายถึง $\cos x \approx \cos 0$จะไม่ส่งผลกระทบมากนัก แต่นั่นเป็นสิ่งที่ผิด ความเหลวไหลที่ด้านล่างสร้างความแตกต่างอย่างมาก$\frac 1x \not \approx \frac 10$. นั่นไม่ใช่ไม่ใช่

ไม่กรอกหมายเลข

และไม่ถูกต้องอย่างสมบูรณ์