มีวิธีมาตรฐานในการเตรียมซิกมา-พีชคณิตด้วยซิกมา-พีชคณิตหรือไม่?

Question

สมมติ$(X, \mathcal X)$เป็นพื้นที่ที่วัดได้ ฉันอยากจะพูดบางอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชันที่วัดได้โดยใช้ค่าใน$\mathcal X$แต่เพื่อที่จะทำอย่างนั้น ฉันต้อง$\mathcal X$ที่จะติดตั้งซิกมาพีชคณิต

มีวิธีเตรียมที่เป็นที่ยอมรับหรือไม่$\mathcal X$ด้วยซิกมา-พีชคณิต$\mathcal F_\mathcal X$เพื่อให้เราสามารถพูดถึงฟังก์ชันที่วัดได้จาก$(X, \mathcal X)$ถึง$(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

ความคิดบางอย่างที่เกิดขึ้นกับฉัน:

(1)$\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. แต่ฉันไม่เห็นว่าสิ่งนี้ถูกปิดภายใต้การเติมเต็ม

(2)$\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. แต่ฉันไม่เห็นว่านี่ถูกปิดภายใต้สหภาพที่นับได้

Answer 1

เท่าที่ฉันรู้ ไม่มีแนวทางมาตรฐานในการสร้างโครงสร้างที่วัดผลได้

เราต้องการสิ่งนั้นสำหรับงานบางอย่างที่สรุปกระบวนการตัดสินใจของ Markov (ดูจากมุมมองของวิทยาการคอมพิวเตอร์) กับ "การไม่กำหนดระดับ" คุณสามารถตรวจสอบการอ้างอิงได้ที่arXiv ( DOI )

คำจำกัดความที่ทำงานให้กับเราคือการประกาศชุดย่อยของ$\mathcal{X}$วัดได้ถ้ามันอยู่ใน$\sigma$-พีชคณิต$H(\mathcal{X})$สร้างโดยชุด$H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, ที่ไหน$\xi$ช่วงมากกว่า$\mathcal{X}$. สิ่งนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากการสร้างไฮเปอร์สเปซที่วัดได้ของเซตย่อยปิดของพื้นที่ทอพอโลยี

ที่จริงแล้ว การจำกัดเฉพาะเซตย่อยของ$\mathcal{X}$ดูสมเหตุสมผลมากขึ้นเนื่องจากผลลัพธ์$\sigma$-พีชคณิตมีขนาดใหญ่มาก: ถ้าฉันจำไม่ผิดครั้งหนึ่ง$X$เป็นอนันต์และ$\mathcal{X}$แยกคะแนน แล้ว$H(\mathcal{X})$ไม่สามารถนับได้